Límite de una función (2ºBach)

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Tabla de contenidos

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1 Introducción
2 Límite de de una función en un punto
3 Límites laterales
4 Límites infinitos

Introducción

Recordemos algunos conceptos:

Decimos que " $x\;$ tiende a $a\;$ por la izquierda" ( $x \rightarrow a^-$ ) cuando $x\;$ toma valores menores que $a\;$ , cada vez más próximos a $a\;$ , tan próximos a $a\;$ como se quiera.
Decimos que " $x\;$ tiende a $a\;$ por la derecha" ( $x \rightarrow a^+$ ) cuando $x\;$ toma valores mayores que $a\;$ , cada vez más próximos a $a\;$ , tan próximos a $a\;$ como se quiera.
Decimos que " $x\;$ tiende a $a\;$ " ( $x \rightarrow a$ ) cuando $x\;$ toma valores cada vez más próximos a $a\;$ , tan próximos a $a\;$ como se quiera, tanto a su izquierda como a su derecha.

Decimos que " $x\;$ tiende a + infinito" ( $x \rightarrow + \infty$ ) cuando $x\;$ toma valores positivos tan grandes como queramos.

Decimos que " $x\;$ tiende a - infinito" ( $x \rightarrow - \infty$ ) cuando $x\;$ toma valores negativos tan pequeños como queramos.

A veces te podrás encontrar también la expresión " $x\;$ tiende a infinito" ( $x \rightarrow \infty$ ) cuando $x\;$ tiende, indistintamente, a $+ \infty$ o a $- \infty$ , aunque también hay quien la usa en lugar de $x \rightarrow + \infty$ .

Recordando cosas importantes (11'47") Sinopsis: [Mostrar]

La Madre del Cordero del Cálculo (8'53") Sinopsis: [Mostrar]

Límite de de una función en un punto

El concepto de límite es la base para poder abordar el concepto de continuidad y , más adelante, el de derivabilidad de una función. Es pués, de vital interés, tenerlo bien claro.

Definición informal de límite

De manera informal, diremos que una función $f ~$ tiene límite $L~$ en $c~$ , o que $f ~$ tiende a $L ~$ cuando $x~$ se acerca a $c ~$ , si se puede hacer que $f(x)~$ esté tan cerca como queramos de $L ~$ , haciendo que $x~$ esté suficientemente cerca de $c~$ , pero sin llegar a $c~$ .

Definición formal de límite

Los conceptos "cerca" y "suficientemente cerca" son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos.

Sea $f\;$ una función con dominio $Dom_f\;$ y sea $c \;$ un punto de acumulación de $Dom_f\;$ . Diremos que el límite de una función $f(x)\;$ , cuando $x~$ tiende a $c~$ , es $L ~$ , si y sólo si, para todo $\varepsilon > 0 \;$ , existe un $\delta > 0 \;$ , tal que para todo número real $x~$ del dominio de la función, si $0 < |x-c| < \delta \;$ , entonces $|f(x)-L| < \varepsilon \;$ .

Es decir,

$\lim_{x\to c} \, \,f(x) = L$ $\iff \forall \varepsilon > 0 ,\,\,\, \exists \delta > 0 \, \ | \ \, \forall x \in \operatorname{Dom}_f, \,\,0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$

Esta es una formulación estricta del concepto de límite de una función real en un punto de acumulación del dominio de la función y se debe al matemático francés Luis Cauchy.

El límite de una función en un punto según Cauchy (18'31") Sinopsis: [Mostrar]

Observaciones:

Para entender bien el concepto de límite, recuérdese la definición de distancia entre dos puntos de la recta real, según la cual, $d(x,c)=|x-c| \;$ .

Decir que $c~$ es un punto de acumulación del dominio de la función equivale a decir que cualquier intevalo abierto de centro $c~$ contiene a puntos del dominio de la función distintos de $c~$ , o dicho informalmente, que nos podemos acercar a $c~$ tanto como queramos mediante puntos del dominio distintos de $c~$ .

Exigir que $c~$ sea punto de acumulación del dominio es necesario para que la definición tenga sentido. En caso contrario, no podríamos hablar de valores de $x~$ "suficientemente cerca" de $c~$ cuyas imágenes están tan "cerca" de $L~$ como se desee.

Es muy importante observar que $c~$ no tiene por qué pertenecer al dominio de la función para poder hablar de límite cuando x tiende a $c~$ . Es decir, podemos calcular el límite en un punto en el que la función no esté definida.

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Tomando valores arbitrarios de ε, podemos elegir un δ para cada uno de estos, de modo que f(x) y L se acerquen a medida que x se acerca a c.

Límite de una función en un punto

Demostrar que $\lim_{x\to 2}(3x-5)=1$ usando la definición formal de límite.

Solución:[Mostrar]

Teorema

Si el límite de una función existe, entonces es único.

Demostración:[Mostrar]

El teorema de unicidad provee de una valiosa herramienta para refutar la existencia de límites.

Funciones sin límite en un punto

Función sin límite

La función de Dirichlet, $D:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida como:

$D(x) = \begin{cases} c & \mathrm{si \ } x \in \mathbb{Q} \\ d & \mathrm{si \ } x \in \mathbb{I} \\ \end{cases}$

tiene la peculiaridad de que, para cualquier valor $a\;$ de su dominio, el $\lim_{x \to a}f(x)$ no existe.

Solución:[Mostrar]

Funciones sin límite en un punto (17'06") Sinopsis: [Mostrar]

Límites laterales

Límite de una función en un punto. Límites laterales (28'30") Sinopsis: [Mostrar]

Límites infinitos

Límite de una función en el infinito [Mostrar]

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Categorías: Matemáticas | Funciones

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 *Para entender bien el concepto de límite, recuérdese la definición de [[Números reales (1ºBach)#Distancia |distancia]] entre dos puntos de la recta real, según la cual, <math>d(x,c)=|x-c| \;</math>.
 *Es muy importante observar que <math>c~</math> no tiene por qué pertenecer al dominio de la función para poder hablar de límite cuando x tiende a <math>c~</math>. Es decir, podemos calcular el límite en un punto en el que la función no esté definida.
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+upóngase que <math>\textstyle \lim_{x\rightarrow c}f(x)=L </math> y también que <math>\textstyle \lim_{x\rightarrow c}f(x)=L' </math> siendo ''L'' y ''L''' distintos; se debe de comprobar que no puede ser que <math> L'\neq L </math> verificándose la definición de límite. Para ello se toma un entorno ''E'' de ''L'' y un entorno ''E''<nowiki>'</nowiki> de ''L''<nowiki>'</nowiki> que no se intersequen.  Por definición de límite <math> f(x)\in E </math> para todo ''x'' en algún entorno agujereado de ''c'', por lo que no puede estar en ''E''<nowiki>'</nowiki>, evitando que el límite sea ''L''<nowiki>'</nowiki>.
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+{{p}}
+El teorema de unicidad provee de una valiosa herramienta para refutar la existencia de límites.
 ===Funciones sin límite en un punto===

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Límite de una función (2ºBach)

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Introducción

Límite de de una función en un punto

Definición informal de límite

Definición formal de límite

Funciones sin límite en un punto

Límites laterales

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