Límite de una función (2ºBach)

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Tabla de contenidos

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1 Introducción
2 Límite de de una función en un punto
- 2.1 Definición informal de límite
- 2.2 Definición formal de límite
3 Límites laterales
4 Límites infinitos

Introducción

Recordemos algunos conceptos:

Decimos que " $x\;$ tiende a $a\;$ por la izquierda" ( $x \rightarrow a^-$ ) cuando $x\;$ toma valores menores que $a\;$ , cada vez más próximos a $a\;$ , tan próximos a $a\;$ como se quiera.
Decimos que " $x\;$ tiende a $a\;$ por la derecha" ( $x \rightarrow a^+$ ) cuando $x\;$ toma valores mayores que $a\;$ , cada vez más próximos a $a\;$ , tan próximos a $a\;$ como se quiera.
Decimos que " $x\;$ tiende a $a\;$ " ( $x \rightarrow a$ ) cuando $x\;$ toma valores cada vez más próximos a $a\;$ , tan próximos a $a\;$ como se quiera, tanto a su izquierda como a su derecha.

Decimos que " $x\;$ tiende a + infinito" ( $x \rightarrow + \infty$ ) cuando $x\;$ toma valores positivos tan grandes como queramos.

Decimos que " $x\;$ tiende a - infinito" ( $x \rightarrow - \infty$ ) cuando $x\;$ toma valores negativos tan pequeños como queramos.

A veces te podrás encontrar también la expresión " $x\;$ tiende a infinito" ( $x \rightarrow \infty$ ) cuando $x\;$ tiende, indistintamente, a $+ \infty$ o a $- \infty$ , aunque también hay quien la usa en lugar de $x \rightarrow + \infty$ .

Recordando cosas importantes (11'47") Sinopsis: [Mostrar]

La Madre del Cordero del Cálculo (8'53") Sinopsis: [Mostrar]

Límite de de una función en un punto

El concepto de límite es la base para poder abordar el concepto de continuidad y , más adelante, el de derivabilidad de una función. Es pués, de vital interés, tenerlo bien claro.

Definición informal de límite

De manera informal, diremos que una función $f ~$ "tiene límite" $L~$ en $c~$ , o que $f ~$ "tiende a" $L ~$ cuando $x~$ se acerca a $c ~$ , si se puede hacer que $f(x)~$ esté tan cerca como queramos de $L ~$ , haciendo que $x~$ esté suficientemente cerca de $c~$ , pero sin llegar a $c~$ .

Definición formal de límite

Los conceptos "cerca" y "suficientemente cerca" son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos.

Sea $f\;$ una función con dominio $Dom_f\;$ y sea $c \;$ un punto de acumulación de $Dom_f\;$ . Diremos que el límite de una función $f(x)\;$ , cuando $x~$ tiende a $c~$ , es $L ~$ , si y sólo si, para todo $\varepsilon > 0 \;$ , existe un $\delta > 0 \;$ , tal que para todo número real $x~$ del dominio de la función, si $0 < |x-c| < \delta \;$ , entonces $|f(x)-L| < \varepsilon \;$ .

Es decir,

$\lim_{x\to c} \, \,f(x) = L$ $\iff \forall \varepsilon > 0 ,\,\,\, \exists \delta > 0 \, \ | \ \, \forall x \in \operatorname{Dom}_f, \,\,0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$

Esta es una formulación estricta del concepto de límite de una función real en un punto de acumulación del dominio de la función y se debe al matemático francés Luis Cauchy.

El límite de una función en un punto según Cauchy (18'31") Sinopsis: [Mostrar]

Observaciones:

Para entender bien el concepto de límite, recuérdese la definición de distancia entre dos puntos de la recta real, según la cual, $d(x,c)=|x-c| \;$ .

Decir que $c~$ es un punto de acumulación del dominio de la función equivale a decir que cualquier intevalo abierto de centro $c~$ contiene a puntos del dominio de la función distintos de $c~$ , o dicho informalmente, que nos podemos acercar a $c~$ tanto como queramos mediante puntos del dominio distintos de $c~$ .

Exigir que $c~$ sea punto de acumulación del dominio es necesario para que la definición tenga sentido. En caso contrario, no podríamos hablar de valores de $x~$ "suficientemente cerca" de $c~$ cuyas imágenes están tan "cerca" de $L~$ como se desee.

Es muy importante observar que $c~$ no tiene por qué pertenecer al dominio de la función para poder hablar de límite cuando x tiende a $c~$ . Es decir, podemos calcular el límite en un punto en el que la función no esté definida.

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Tomando valores arbitrarios de ε, podemos elegir un δ para cada uno de estos, de modo que f(x) y L se acerquen a medida que x se acerca a c.

Límite de una función en un punto

Demostrar que $\lim_{x\to 2}(3x-5)=1$ usando la definición formal de límite.

Solución:[Mostrar]

Teorema

Si el límite de una función existe, entonces es único.

Demostración:[Mostrar]

El teorema de unicidad provee de una valiosa herramienta para refutar la existencia de límites.

Función sin límite

La función de Dirichlet, $D:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida como:

$D(x) = \begin{cases} c & \mathrm{si \ } x \in \mathbb{Q} \\ d & \mathrm{si \ } x \in \mathbb{I} \\ \end{cases}$

tiene la peculiaridad de que, para cualquier valor $a\;$ de su dominio, el $\lim_{x \to a}f(x)$ no existe.

Solución:[Mostrar]

Límites laterales

Sea $f\;$ una función real de variable real y consideremos $x\;$ un punto del dominio de esta función, aproximándose a $c\;$ , pero tomando sólo valores más grandes que él. Formalmente, estaríamos tomando los $x\;$ que verifican $0<x-c<\delta\;$ , para ciertos $\delta\;$ . Si la función tiende a un valor $L^+\;$ , se dice que existe el límite por derecha y se denota así:

$\lim_{x \to c^+}f(x) = L^+$

Sea ahora $x\;$ un punto del dominio de esta función, aproximándose a $c\;$ , pero tomando sólo valores más pequeños que él, es decir, tales que $0<-(x-c)<\delta\;$ , para ciertos $\delta\;$ . Si la función tiende a un valor $L^-\;$ , se dice que existe el límite por izquierda y se denota así:

$\lim_{x \to c^-}f(x) = L^-$

Si los dos límites anteriores son iguales, entonces $L=L^+=L^-\;$ se pueden referir como el límite de $f(x)\;$ en $c\;$ :

$\lim_{x \to c^-}f(x) = \lim_{x \to c^+}f(x) = L$

Dicho de otro modo, si los límites laterales no son iguales, entonces el límite no existe. El hecho de que el límite no sea el mismo en todo entorno del punto $c\;$ implica que no es único, por esta razón es que no existe.

El límite cuando x → x0+ es distinto del límite cuando x → x0-. Por lo tanto, el límite cuando x → x0 no existe.

El límite cuando x → x₀⁺ es distinto del límite cuando x → x₀^-.
Por lo tanto, el límite cuando x → x₀ no existe.

Límite de una función en un punto. Límites laterales (28'30") Sinopsis: [Mostrar]

Funciones sin límite en un punto (17'06") Sinopsis: [Mostrar]

Límites infinitos

Existen varios casos de límites de funciones que involucran la noción del infinito, definiremos cada uno de ellos en las secciones siguientes.

Variable que tiende a infinito

Límite en el infinito:

$\lim_{x \to +\infty}=L \iff \forall \varepsilon>0 \ , \ \exists R>0 \ | \ \forall x \in Dom_f \ , \ x>R \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$ .
$\lim_{x \to -\infty}=L \iff \forall \varepsilon>0 \ , \ \exists R<0 \ | \ \forall x \in Dom_f \ , \ x<R \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$ .
$\lim_{x \to \infty}=L \iff \forall \varepsilon>0 \ , \ \exists R>0 \ | \ \forall x \in Dom_f \ , \ |x|>R \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$ .

Ejemplo

Comprueba que la función $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$ , definida $\forall x \in \mathbb R$ , tiende a cero cuando $x\;$ tiende a infinito.

Solución:[Mostrar]

Función que tiende a infinito

Límite infinito:

$\lim_{x\to c}f(x)=+\infty\iff\forall R>0, \exists \delta > 0 \ / \ \forall x \in Dom_f, \ 0 < |x-c|<\delta \Rightarrow f(x)>R$ .
$\lim_{x\to c}f(x)=-\infty\iff\forall R<0, \exists \delta > 0 \ / \ \forall x \in Dom_f, \ 0 < |x-c|<\delta \Rightarrow f(x)<R$ .
$\lim_{x\to c}f(x)=\infty\iff\forall R>0, \exists \delta > 0 \ / \ \forall x \in Dom_f, \ 0 < |x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)|>R$ .

Ejemplo

a) Comprueba que la función $f(x)=\frac{1}{x}$ tiende a infinito cuando $x\;$ tiende a cero.

b) Comprueba que $\lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty$ .

Solución:[Mostrar]

Ambos casos

Pueden darse ambos casos al mismo tiempo, por ejemplo, cualquier función polinómica en x tiende a infinito, cuando x tiende a infinito. En este tipo de casos definiremos al límite como sigue.

Límite infinito en el infinito:

$\lim_{x \to \infty} f(x)=\infty \iff \forall M>0 \ , \ \exists R>0 \ / \ \forall x \in Dom_f \ , \ |x|>R \Rightarrow |f(x)|>M$

Ejemplo

Comprueba que $\lim_{x\to\infty}(3x-5)=\infty.$ .

Solución:[Mostrar]

Límite de una función en el infinito [Mostrar]

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n_%282%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Funciones

 *Se puede calcular el límite en un punto independientemente de que el punto pertenezca o no al dominio de la función. Ejemplos.
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Definición formal de límite

Límites laterales

Límites infinitos

Variable que tiende a infinito

Función que tiende a infinito

Ambos casos

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