Puntos y vectores el plano (1ºBach)

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Obvio: si <math>u = (u_1,u_2)</math> y <math>A = (a_1,a_2)</math>, es A' = (a_1+u_1,u_2+u_2). Obvio: si <math>u = (u_1,u_2)</math> y <math>A = (a_1,a_2)</math>, es A' = (a_1+u_1,u_2+u_2).
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*Suma de vectores: método del paralelogramo. *Suma de vectores: método del paralelogramo.
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*Llamamos '''homotecia''' de centro en el punto "P" y razón "k" a la transformación que a cada punto A del plano le asocia el punto A' tal que el vector fijo <math>\vec{PA'}</math> es el producto del número real "k" por el vector fijo <math>\vec{PA'}</math>. *Llamamos '''homotecia''' de centro en el punto "P" y razón "k" a la transformación que a cada punto A del plano le asocia el punto A' tal que el vector fijo <math>\vec{PA'}</math> es el producto del número real "k" por el vector fijo <math>\vec{PA'}</math>.

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Tabla de contenidos

[esconder]

(Pág. 188)

Sistema de referencia en el plano

Un sistema de referencia del plano consiste en una terna \mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}, donde O\, es un punto fijo, llamado origen, y B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}) una base de vectores del plano.

En este sistema de referencia, cada punto P\, del plano tiene asociado un vector fijo \overrightarrow{OP}, llamado vector de posición del punto P\,.

Si el vector \overrightarrow{OP} tiene coordenadas (a,b)\, respecto de la base B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}), el punto P\, diremos que tiene coordenadas (a,b)\, respecto del sistema de referencia \mathfrak{R}.

Normalmente trabajaremos con un sistema de referencia ortonormal, que es aquel en el que la base es ortonormal.


Sistema de referencia ortonormal

Coordenadas del vector que une dos puntos

ejercicio

Coordenadas del vector que une dos puntos

Dados dos puntos del plano de coordenadas A(x_1,y_1)\, y B(x_2,y_2)\,, respecto de un sistema de referencia \mathfrak{R}, entonces:

\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)

Vectores equipolentes

ejercicio

Proposición

Dos vectores son equipolentes si y sólo si tienen las mismas coordenadas.

Condición para que tres puntos estén alineados

ejercicio

Condición para que tres puntos estén alineados

Los puntos del plano A(x_1,y_1)\,, B(x_2,y_2)\, y C(x_3,y_3)\,, están alineados si \vec{AB} y \vec{BC} son vectores paralelos, es decir, si sus coordenadas son proporcionales:

    

\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2}

ejercicio

Ejercicio resuelto

Averigua el valor de "m" para que P(1,4), Q(5,-2) y R(6,m) estén alineados.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Puntos y vectores en el plano

(Pág. 189)

1, 2, 3

Punto medio de un segmento

ejercicio

Punto medio de un segmento

Las coordenadas del punto medio, M\,, de un segmento de extremos A(x_1,y_1)\, y B(x_2,y_2)\, son:


M \, \Big( \cfrac{x_1+x_2}{2},\, \cfrac{y_1+y_2}{2} \Big)

Simétrico de un punto respecto de otro

Para calcular el punto simétrico de un punto respecto de otro, utilizaremos la anterior fórmula del punto medio, tomando como datos los puntos A y M y como incógnita el punto B. Luego despejaremos de las ecuaciones resultantes las coordenadas del punto B.

También podemos hacer uso de la siguiente fórmula:

ejercicio

Simétrico de un punto respecto de otro

El punto simétrico de A(x,y)\, respecto del punto P(a,b)\, es:


A'=(2a-x,2b-y)\,.

ejercicio

Ejercicios resueltos

1. Halla el simétrico, A', del punto A(7,4) respecto de P(3,-11).

2. Dados los puntos M(7,4) y N(-2,1), halla un punto P en el segmento MN tal que la distancia de M a P sea la mitad de la distancia de P a N.

Ejercicios

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Puntos y vectores el plano

(Pág. 190)

4a,b,e

4c,d

Traslaciones y homotecias

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