Ángulo entre dos rectas del plano (1ºBach)
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<center><math>tg \, \phi = \Big| \cfrac{m'-m}{1+m \,m'} \Big|</math></center> | <center><math>tg \, \phi = \Big| \cfrac{m'-m}{1+m \,m'} \Big|</math></center> | ||
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|demo={{Tabla75|celda2=[[Imagen:ang2rectas.png]]|celda1= | |demo={{Tabla75|celda2=[[Imagen:ang2rectas.png]]|celda1= | ||
Teniendo en cuenta que <math>m=tg \, \alpha</math> y <math>m'=tg \, \beta</math>, usando la fórmula de la tangente de la diferencia de dos ángulos, tenemos: | Teniendo en cuenta que <math>m=tg \, \alpha</math> y <math>m'=tg \, \beta</math>, usando la fórmula de la tangente de la diferencia de dos ángulos, tenemos: | ||
- | :<math>tg \, \phi=tg \, (\alpha - \beta)= \Big| \cfrac{tg \, \alpha - tg \, \beta}{1+tg \, \alpha \, tg \, \beta} \Big|= \Big| \cfrac{m'-m}{1+m \,m'} \Big|</math> | + | <center><math>tg \, \phi=tg \, (\alpha - \beta)= \cfrac{tg \, \alpha - tg \, \beta}{1+tg \, \alpha \, tg \, \beta} = \cfrac{m'-m}{1+m \,m'} </math></center> |
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+ | Para conseguir que el ángulo sea el menor, tomamos valores absolutos en la expresión anterior: | ||
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+ | <center><math>tg \, \phi=\Big| \cfrac{m'-m}{1+m \,m'} \Big|</math></center> | ||
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También puedes ver la demostración en el siguiente video: | También puedes ver la demostración en el siguiente video: |
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Tabla de contenidos |
(Pág. 202)
Ángulo entre dos rectas
El ángulo entre dos rectas del plano es el menor de los dos ángulos que forman éstas entre sí.
Ángulo entre dos rectas a partir de sus vectores de dirección
Ejemplo: Ángulo entre dos rectas
Halla el ángulo que forman las siguientes rectas:
![r_1: \, \begin{cases} x=-3+ 4t \\ y=4- t \end{cases} \qquad r_2: \, \begin{cases} x=-3+ 5t \\ y=4+ t \end{cases}](/wikipedia/images/math/8/a/6/8a6767be64a62f73f1222533750728a6.png)
Sus vectores de dirección son: y
, de manera que:
![cos \, \alpha=\cfrac{| \overrightarrow{d_1} \cdot \overrightarrow{d_2}|}{|\overrightarrow{d_1}| \, |\overrightarrow{d_2}|}=\cfrac{19}{\sqrt{17} \, \sqrt{26}}=0.9 \rightarrow \alpha=25.34^\circ](/wikipedia/images/math/f/4/e/f4ea74fc28ee30503b8a4cc3c5c4d962.png)
Ángulo entre dos rectas dadas en forma implícita
Proposición
Sean y
dos rectas, y sea
el ángulo que forman. Se verifica que
![cos \, \alpha = \cfrac{|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{n'}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{n'}|}](/wikipedia/images/math/3/c/8/3c884f3a00fcf273ac749c04bdd05e81.png)
- donde
y
son los vectores normales de las rectas.
Cómo el vector normal a una recta es perpendicular al vector de dirección de la misma, hallar el ángulo entre las dos rectas equivale a hallar el ángulo entre los vectores normales o entre los vectores de dirección. Por tanto aplicaremos la misma fórmula que para hallar el ángulo a partir de los vectores de dirección, sustituyendo éstos por los vectores normales.
Ángulo entre dos rectas a partir de sus pendientes
Proposición
Dadas dos rectas con pendientes y
. Se verifica que
![tg \, \phi = \Big| \cfrac{m'-m}{1+m \,m'} \Big|](/wikipedia/images/math/2/9/9/299ab23f81aca7c8c22e7d36014d3b86.png)
Teniendo en cuenta que ![]() ![]() ![]() Para conseguir que el ángulo sea el menor, tomamos valores absolutos en la expresión anterior: ![]()
También puedes ver la demostración en el siguiente video: ![]() Demostración de la fórmula del ángulo entre dos rectas conocidas sus pendientes. | ![]() |
![](/wikipedia/images/thumb/8/8f/Velazco.jpg/22px-Velazco.jpg)
Halla el ángulo entre las rectas r1: − x + y = 2 y r2: − 5x − 4y = / 13.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás calcular el ángulo entre dos rectas.
Ejercicios y videotutoriales
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
- Ángulo entre dos rectas.
- Paralelismo y perpendicularidad.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Ángulo entre dos rectas
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Ángulo entre dos rectas
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Ángulo entre dos rectas
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
3 ejercicios (Paralelismo)
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
3 ejercicios (Perpendicularidad)
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
2 ejercicios (Perpendicularidad)
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Ejercicio (Simétrico de un punto respecto a una recta)
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Ejercicio (Ortocentro de un triángulo)
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Ejercicio (Circuncentro de un triángulo)
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Ejercicio (Triángulo equilátero)
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Ejercicio (Triángulo isósceles)
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Ecuaciones trigonométricas |