Figuras semejantes (2º ESO)

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Tabla de contenidos

1 Figuras semejantes
- 1.1 Ejercicios propuestos
2 Relación entre las áreas y los volúmenes de dos figuras semejantes
- 2.1 Ejercicios propuestos

(Pág. 194)

Figuras semejantes

Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma aunque sus tamaños u orientación sean diferentes. Esto lo expresaremos matemáticamente diciendo que:
- Los segmentos correspondientes (homólogos), de una y otra figura, son proporcionales.
- Sus ángulos correspondientes son iguales.
Al ser los segmentos homólogos proporcionales, se cumple que la longitud de uno de ellos se obtiene multiplicando la longitud del correspondiente por una cantidad fija, llamada razón de semejanza.

Figuras semejantes Descripción:

Actividades para que puedas aprender los concepto de semejanza y de razón de semejanza. También podrás aprender a construir figuras semejantes a una dada.

Ejemplos: Figuras semejantes

Tenemos dibujado en un papel un rectángulo de dimensiones 12 cm x 8 cm. Hacemos una fotocopia reducida y obtenemos otro rectángulo de dimensiones 3 cm x 2 cm. Comprueba que son semejantes y calcula la razón de semejanza. Calcula el procentaje de reducción aplicado en la fotocopia.
Dos triángulos semejantes tienen una razón de semejanza de 0.75. Si los lados del mayor miden 12, 8 y 16 cm, respectivamente, ¿cuánto miden los lados del menor?

Solución:

Solución 1:

Razón de semejanza:

Si dividimos las longitudes del rectángulo pequeño entre las correspondientes del grande, obtenemos:

$\cfrac{3}{12}=\cfrac{2}{8}=0.25$

Por tanto la razón de semejanza es 0.25.

Observa como los dos rectángulos tienen todos sus ángulos de 90º, es decir, la reducción no ha afectado a los ángulos.

Porcentaje de reducción:

La razón de semejanza puede expresarse en porcentaje:

$0.25 \cdot 100= 25%\;$

Por tanto la fotocopia es una reducción del 25%.

Solución 2:

Llamemos a, b y c, a los lados del triángulo menor, y a´, b´ y c´, a los del mayor.

Sabemos que a´=12 cm, b´=8 cm y c´=16 cm.

Como la razón de semejanza es 0.75, al dividir los lados del triángulo mayor entre sus correspondientes del menor, el resultado deberá ser 0.75:

$\cfrac{a}{a'}=\cfrac{b}{b'}=\cfrac{c}{c'}=0.75$

Entonces:

$\cfrac{a}{12}=0.75 \ \rightarrow \ a=12 \cdot 0.75=9~ cm$

$\cfrac{b}{8}=0.75 \ \rightarrow \ b=8 \cdot 0.75=6~ cm$

$\cfrac{c}{16}=0.75 \ \rightarrow \ c=16 \cdot 0.75=12~ cm$

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Figuras semejantes

(Pág. 195)

1, 2

(Pág. 196)

Relación entre las áreas y los volúmenes de dos figuras semejantes

Propiedades

Si la razón de semejanza entre dos figuras es $k\;$ , entonces la razón entre sus áreas es $k^2\;$ y entre sus volúmenes, $k^3\;$ .

Ejemplos: Relación entre las áreas y los volúmenes de dos figuras semejantes

Comprueba que si un cuadrado tiene 5 cm de lado y el de otro cuadrado mide el doble, 10 cm, entonces el área de éste es el cuádruple de la del primero.
Comprueba que si un cubo tiene 5 cm de arista y la de otro cubo mide el doble, 10 cm, entonces el volumen de éste es 8 veces la del primero.

Solución:

Solución 1:

En efecto, como la razón entre los lados es $k=2\;$ , la razón entre sus áreas es $k^2=2^2=4\;$ .

Si hallamos el área de cada cuadrado lo podremos comprobar:

Área cuadrado pequeño= $5^2=25~cm^2\;$
Área cuadrado grande= $10^2=100~cm^2\;$

En efecto, el área del grande es el cuádruple del área del pequeño.

Solución 2:

En efecto, como la razón entre las aristas es $k=2\;$ , la razón entre sus volúmenes es $k^3=2^3=8\;$ .

Si hallamos los volúmenes de cada cubo lo podremos comprobar:

Volumen cubo pequeño= $5^3=125~cm^2\;$
Volumen cubo grande= $10^3=1000~cm^2\;$

En efecto, el volumen del grande es 8 veces el del pequeño.

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Relación entre las áreas y los volúmenes de dos figuras semejantes

(Pág. 196-197)

3, 4

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Figuras_semejantes_%282%C2%BA_ESO%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

 (Pág. 194)
 ==Figuras semejantes==
-{{Caja_Amarilla|texto=*Dos figuras son '''semejantes''' si tienen la misma forma aunque sus tamaños u orientación sean diferentes. El tener la misma forma lo expresaremos matemáticamente diciendo que:
+{{Caja_Amarilla|texto=*Dos figuras son '''semejantes''' si tienen la misma forma aunque sus tamaños u orientación sean diferentes. Esto lo expresaremos matemáticamente diciendo que:
 **Los segmentos correspondientes (homólogos), de una y otra figura, son proporcionales.
 **Sus ángulos correspondientes son iguales.
 }}
 {{p}}
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo 1: ''Figuras semejantes''|enunciado=Tenemos dibujado en un papel un rectángulo de dimensiones 12 cm x 8 cm. Hacemos una fotocopia reducida y obtenemos otro rectángulo de dimensiones 3 cm x 2 cm.
+{{Ejemplo|titulo=Ejemplos: ''Figuras semejantes''|enunciado=
+#Tenemos dibujado en un papel un rectángulo de dimensiones 12 cm x 8 cm. Hacemos una fotocopia reducida y obtenemos otro rectángulo de dimensiones 3 cm x 2 cm. Comprueba que son semejantes y calcula la razón de semejanza. Calcula el procentaje de reducción aplicado en la fotocopia.
-:a) Comprueba que son semejantes y calcula la razón de semejanza.
+#Dos triángulos semejantes tienen una razón de semejanza de 0.75. Si los lados del mayor miden 12, 8 y 16 cm, respectivamente, ¿cuánto miden los lados del menor?
-:b) Calcula el procentaje de reducción aplicado en la fotocopia.
 |sol=
 {{Tabla50|celda2=[[Imagen:rectang_semejantes.jpg|center]]|celda1=
-'''Solución:'''
+'''Solución 1:'''
-'''a) Razón de semejanza:'''
+*'''Razón de semejanza:'''
 Si dividimos las longitudes del rectángulo pequeño entre las correspondientes del grande, obtenemos:
 Observa como los dos rectángulos tienen todos sus ángulos de 90º, es decir, la reducción no ha afectado a los ángulos.
-'''b) Porcentaje:'''
+*'''Porcentaje de reducción:'''
 La razón de semejanza puede expresarse en porcentaje:
 Por tanto la fotocopia es una reducción del 25%.
 }}
-}}
+----
-{{p}}
+{{Tabla50|celda2=[[Imagen:Triangulos semejantes.png|center]]|celda1=
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo 2: ''Figuras semejantes''|enunciado=Dos triángulos semejantes tienen una razón de semejanza de 0.75. Si los lados del mayor miden 12, 8 y 16 cm, respectivamente, ¿cuánto miden los lados del menor?
+'''Solución 2:'''
-|sol=
-'''Solución:'''
-Llamemos ''a'', ''b'' y ''c'', a los lados del triángulo mayor, y ''a´'', ''b´'' y ''c´'', a los del menor.
+Llamemos ''a'', ''b'' y ''c'', a los lados del triángulo menor, y ''a´'', ''b´'' y ''c´'', a los del mayor.
-Sabemos que ''a''=12 cm, ''b''=8 cm y ''c''=16 cm.
+Sabemos que ''a´''=12 cm, ''b´''=8 cm y ''c´''=16 cm.
 Como la razón de semejanza es 0.75, al dividir los lados del triángulo mayor entre sus correspondientes del menor, el resultado deberá ser 0.75:
-<center><math>\cfrac{a'}{a}=\cfrac{b'}{b}=\cfrac{c'}{c}=0.75</math></center>
+<center><math>\cfrac{a}{a'}=\cfrac{b}{b'}=\cfrac{c}{c'}=0.75</math></center>
 Entonces:
-:<math>\cfrac{a'}{12}=0.75 \ \rightarrow \ a'=12 \cdot 0.75=9~ cm</math>
+:<math>\cfrac{a}{12}=0.75 \ \rightarrow \ a=12 \cdot 0.75=9~ cm</math>
-:<math>\cfrac{b'}{8}=0.75 \ \rightarrow \ b'=8 \cdot 0.75=6~ cm</math>
+:<math>\cfrac{b}{8}=0.75 \ \rightarrow \ b=8 \cdot 0.75=6~ cm</math>
-:<math>\cfrac{c'}{16}=0.75 \ \rightarrow \ c'=16 \cdot 0.75=12~ cm</math>
+:<math>\cfrac{c}{16}=0.75 \ \rightarrow \ c=16 \cdot 0.75=12~ cm</math>
 }}
+}}
+{{p}}
 ===Ejercicios propuestos===
 {{ejercicio

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