Cálculo de primitivas inmediatas (2ºBach)

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Integrales inmediatas básicas

Empezaremos viendo aquellas funciones cuyas primitivas son las funciones elementales cuyas derivadas vimos en un tema anterior (Ver reglas de derivación).

Integrales básicas

Integrales básicas I (7'25") Sinopsis:

Reglas básicas de integración:

Integral de un número.
Integral de una potencia.

Integrales básicas II (8'50") Sinopsis:

Reglas básicas de integración:

Integral de una potencia (ampliación).
Integral del logaritmo neperiano.

Integrales básicas III (6'48") Sinopsis:

Reglas básicas de integración:

Integral de funciones exponenciales.

Integrales básicas IV (5'27") Sinopsis:

Reglas básicas de integración:

Integral de funciones trigonométricas.

Integrales básicas IV (7'24") Sinopsis:

Reglas básicas de integración:

Integral de funciones trigonométricas (ampliación).

Integrales inmediatas

En este apartado estudiaremos las integrales de funciones cuyas primitivas son funciones compuestas. Más concretamente:

Proposición

$\int g'[f(x)] \cdot f'(x) \, dx = g[f(x)] + k$

Demostración:

Demostración:

Es inmediato si a partir de la derivada de la función compuesta

$(g[f(x)])'= g[f(x)] \cdot f'(x)$

integramos ambos miembros.

Integrales inmediatas

Tutorial 1a (7'57") Sinopsis:

Integrales inmediatas.

Tutorial 1b (9'31") Sinopsis:

Integrales inmediatas (continuación).

Tutorial 1c (9'49") Sinopsis:

Integrales inmediatas (continuación).

Tutorial 2 (5'31") Sinopsis:

De esta manera tenemos las siguientes integrales inmediatas:

Ejercicios resueltos: Primitivas inmediatas

Primitivas del tipo $\int [u(x)]^m \cdot u'(x) \cdot dx \quad (m \ne -1)$

Ejercicios

Ejercicio 1 (7'01") Sinopsis:

$\int 4x^3(1+x^4)^{20} \cdot dx$
$\int 3(3x+5)^7 \cdot dx$

Ejercicio 2 (10'22") Sinopsis:

Primitivas del tipo $\int x^m \cdot dx$ $(m \ne 1)$ . Ejemplos
Ejercicios:

$\int \left( x^2 +x^4+x^7+x^{19} \right) \cdot dx$
$\int \left( \cfrac{1}{x^3} + \cfrac{1}{x^5} + \cfrac{1}{x^6}\right) \cdot dx$
$\int \left( \sqrt{x} + \sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x} + \sqrt[8]{x}\right) \cdot dx$
$\int \left( \cfrac{1}{\sqrt[5]{x}} + \cfrac{1}{\sqrt[7]{x}} + \cfrac{1}{\sqrt[9]{x}}\right) \cdot dx$
$\int \left( 5x^4 -3x^6+9x^8 \right) \cdot dx$
$\int \left( 5 -3\sqrt{x}+9\sqrt[5]{x} \right) \cdot dx$
$\int \sqrt{x}(1-x) \cdot dx$
$\int x(5x^2+2x) \cdot dx$
$\int x^2(5x+\cfrac{7}{x^2}) \cdot dx$

Ejercicio 3 (10'12") Sinopsis:

Primitivas del tipo $\int x^m \cdot dx$ $(m \ne 1)$ en las que hay que aplicar el binomio de Newton.
Ejercicios:

$\int \left( 1+\sqrt{x} \right)^2 \cdot dx$
$\int \left( 3x^2-x \right)^2 \cdot dx$
$\int \left( 2+ \sqrt[3]{x} \right)^3 \cdot dx$
$\int \left( 2- \sqrt[3]{x} \right)^3 \cdot dx$
$\int \left( 2+\sqrt{x} \right)^4 \cdot dx$

Ejercicio 4 (6'27") Sinopsis:

$\int e^x(1+e^x)^3 \cdot dx$
$\int 6x^5(1+x^6)^{10} \cdot dx$
$\int (1+3x^2)(x+x^3)^{13} \cdot dx$
$\int 3\sqrt{1+3x} \cdot dx$
$\int \cfrac{5}{\sqrt{1+5x}} \cdot dx$
$\int (1+sen \, x)^6 \cdot cos \, x \cdot dx$

Ejercicio 5 (13'31") Sinopsis:

$\int x(7+x^2)^5 \cdot dx$
$\int e^{3x}(2+e^{3x})^4 \cdot dx$
$\int x^2\sqrt{1+x^3} \cdot dx$
$\int x^2\sqrt{1+x^4} \cdot dx$
$\int \cfrac{x^2}{\sqrt{1-x^3}} \cdot dx$

Ejercicio 6 (6'31") Sinopsis:

$\int \cfrac{1}{x\sqrt[4]{1-ln \, x}} \cdot dx$
$\int \cfrac{sen \, 3x}{\sqrt[5]{1-cos \, 3x}} \cdot dx$
$\int \cfrac{1}{x}(1+ln \, x)^3 \cdot dx$
$\int \cfrac{7}{\sqrt[3]{1+7x}} \cdot dx$
$\int 2\sqrt[3]{1+2x} \cdot dx$
$\int \cfrac{sen \, x}{1-cos \, x} \cdot dx$
$\int \cfrac{cos \, x}{\sqrt[3]{1+sen \, x}} \cdot dx$
$\int \cfrac{1}{x\sqrt[4]{1+ln \, x}} \cdot dx$

Ejercicio 7 (10'59") Sinopsis:

$\int 4^x \sqrt{1+4^x} \cdot dx$
$\int \cfrac{\sqrt{1+tg \, 2x}}{cos^2 \, 2x} \cdot dx$
$\int \sqrt{1+sen \, 4x} \cdot (cos \, 4x) \cdot dx$
$\int \cfrac{\sqrt[4]{1+cotg \, 3x}}{sen^2 \, 3x} \cdot dx$
Determine la función "f" tal que: f(0)=0, f'(0)=5, f(0)=1 y f'(x)=x+1
Determine la primitiva de $f(x)=sen \, x \cdot cos \,x$ que pasa por el origen.

Ejercicios resueltos: Primitivas inmediatas

Primitivas del tipo $\int \cfrac{u'(x)}{u(x)} \cdot dx$

Ejercicios

Ejercicio 1 (8'16") Sinopsis:

$\int \cfrac{3x^2}{5+x^3} \cdot dx$
$\int \cfrac{e^x}{7+e^x} \cdot dx$
$\int \cfrac{1}{1-2x} \cdot dx$
$\int \cfrac{1}{x+a} \cdot dx$
$\int \left( \cfrac{2}{x+3} + \cfrac{5}{x-7} \right) \cdot dx$
$\int \cfrac{4x^3-5x^2+8}{x} \cdot dx$
$\int \cfrac{1}{ax+b} \cdot dx$
$\int \cfrac{1}{1+x^2} \cdot dx$
$\int tg \, 5x \cdot dx$
$\int cotg \, 4x \cdot dx$

Ejercicio 2 (4'26") Sinopsis:

$\int \cfrac{3}{(5+tg \,3x)\cdot cos^2 \,3x} \cdot dx$
$\int \cfrac{cos \, 3x}{1-sen \, 3x} \cdot dx$
$\int \cfrac{sen \, 7x}{1+cos \, 7x} \cdot dx$
$\int \cfrac{1}{x ln \, x} \cdot dx$
$\int \cfrac{e^{6x}}{1-e^{6x}} \cdot dx$

Ejercicio 3 (2'36") Sinopsis:

$\int \cfrac{1}{\sqrt{x} \cdot (1+\sqrt{x})} \cdot dx$
$\int \cfrac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot (1+\sqrt[3]{x^2})} \cdot dx$

Ejercicios resueltos: Primitivas inmediatas

Primitivas del tipo $\int u'(x)^\cdot a^{u(x)} \cdot dx \quad a>0$

Ejercicio 1 (10'25") Sinopsis:

$\int 5x^4 \cdot 7^{x^5} \cdot dx$
$\int 4x^3 e^{x^4} \cdot dx$
$\int e^{sen \, x} \cdot cos \, x \cdot dx$
$\int e^{kx} \cdot dx$
$\int e^{5x} \cdot dx$
$\int e^{2x} \cdot dx$
$\int e^{\frac{x}{6}} \cdot dx$
$\int \cfrac{3^{arctg \, x}}{1+x^2} \cdot dx$
$\int \cfrac{5^{arcsen \, x}}{\sqrt{1-x^2}} \cdot dx$
$\int x \cdot e^{x^2} \cdot dx$
$\int \cfrac{5^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \cdot dx$
$\int \cfrac{x \cdot 3^{\sqrt{1-x^2}}}{\sqrt{1-x^2}} \cdot dx$
$\int \cfrac{x \cdot 5^{arcsen \, x^2}}{\sqrt{1-x^4}} \cdot dx$

Ejemplos: Primitivas inmediatas

Primitivas del tipo $\int u'(x) \cdot sen \, u(x) \cdot dx \quad a>0$

Ejercicio 1 (6'33") Sinopsis:

$\int \cfrac{sen \, (ln \, x)}{x} \cdot dx$
$\int \cfrac{x \cdot sen \, \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}} \cdot dx$
$\int \cfrac{3 \cdot sen \, (tg \, 3x)}{cos^2 \, 3x} \cdot dx$
$\int x^2 \cdot sen \, x^3 \cdot dx$
$\int (cos \, x)\cdot sen \, (sen \, x) \cdot dx$
$\int \cfrac{sen \, \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \cdot dx$
$\int e^{2x} \cdot sen \, e^{2x} \cdot dx$
$\int sen \, kx \cdot dx$
$\int sen \, 2x \cdot dx$
$\int sen \, 5x \cdot dx$
$\int sen \, \cfrac{x}{7} \cdot dx$

Ejercicios resueltos: Primitivas inmediatas

Primitivas del tipo $\int u'(x) \cdot cos \, u(x) \cdot dx \quad a>0$

Ejercicio 1 (7'28") Sinopsis:

$\int 3x^2 \cdot cos \, x^3 \cdot dx$
$\int \cfrac{3x^2 \cdot cos \, \sqrt{1+x^3}}{2 \, \sqrt{1+x^3}} \cdot dx$
$\int \cfrac{5 \, cos \, (tg \, 5x)}{cos^2 \, 5x} \cdot dx$
$\int x^3 \cdot cos \, x^4 \cdot dx$
$\int e^{3x} \cdot cos \, e^{3x} \cdot dx$
$\int (cos \, x)\cdot cos \, (sen \, x) \cdot dx$
$\int \cfrac{cos \, (ln \, x^5)}{x} \cdot dx$
$\int \cfrac{cos \, \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \cdot dx$
$\int cos \, kx \cdot dx$
$\int cos \, 2x \cdot dx$
$\int cos \, 5x \cdot dx$
$\int cos \, \cfrac{x}{7} \cdot dx$

Ejercicios resueltos: Primitivas inmediatas

Primitivas del tipo $\int \cfrac{u'(x)}{cos^2 \, u(x)} \cdot dx$

Ejercicio 1 (6'39") Sinopsis:

$\int \cfrac{3x^2}{cos^2 \, x^3} \cdot dx$
$\int \cfrac{3x^2}{2 \, \sqrt{1+x^3} \cdot cos^2 \, \sqrt{1+x^3}} \cdot dx$
$\int \cfrac{1}{2 \, \sqrt{x} \cdot cos^2 \, \sqrt{x}} \cdot dx$
$\int \cfrac{x^3}{cos^2 \, x^4} \cdot dx$
$\int \cfrac{1}{x \cdot cos^2 \, (ln \, x^7)} \cdot dx$
$\int \cfrac{5^x}{cos^2 \, 5^x} \cdot dx$
$\int \cfrac{sen \, x}{cos^2 \, (cos \, x)} \cdot dx$
$\int \cfrac{1}{\sqrt{1-x} \cdot cos^2 \, \sqrt{1-x}} \cdot dx$

Ejercicios resueltos: Primitivas inmediatas

Primitivas del tipo $\int \cfrac{u'(x)}{sen^2 \, u(x)} \cdot dx$

Ejercicio 1 (5'24") Sinopsis:

$\int \cfrac{1}{2 \, \sqrt{x} \cdot sen^2 \, \sqrt{x}} \cdot dx$
$\int \cfrac{x^4}{sen^2 \, x^5} \cdot dx$
$\int \cfrac{3^x}{sen^2 \, 3^x} \cdot dx$
$\int \cfrac{sen \, x}{sen^2 \, (cos \, x)} \cdot dx$
$\int \cfrac{1}{x \cdot sen^2 \, (ln \, x^3)} \cdot dx$
$\int \cfrac{1}{\sqrt{1+x} \cdot sen^2 \, \sqrt{1+x}} \cdot dx$

Ejercicios resueltos: Primitivas inmediatas

Primitivas del tipo $\int \cfrac{u'(x)}{a^2+[u(x)]^2} \cdot dx$

Ejercicio 1 (12'49") Sinopsis:

$\int \cfrac{4x^3}{9+x^8} \cdot dx$
$\int \cfrac{3e^{3x}}{25+e^{6x}} \cdot dx$
$\int \cfrac{x^2}{21+x^6} \cdot dx$
$\int \cfrac{cos \, 7x}{5+sen^2 \, 7x} \cdot dx$
$\int \cfrac{2 \, sen \, x \cdot cos \, x}{9+sen^4 \, x} \cdot dx$
$\int \cfrac{1}{\sqrt{x} \cdot (5+x)} \cdot dx$
$\int \cfrac{1}{9+5x^2} \cdot dx$
$\int \cfrac{1}{5+2x+x^2} \cdot dx$
$\int \cfrac{4x^{\frac{1}{3}}}{3(13 + x^{\frac{8}{3}})} \cdot dx$
$\int \cfrac{1}{x \cdot (17+(ln \, x)^2)} \cdot dx$

Ejercicios resueltos: Primitivas inmediatas

Primitivas del tipo $\int \cfrac{u'(x)}{\sqrt{a^2-[u(x)]^2}} \cdot dx$

Ejercicio 1 (10'49") Sinopsis:

$\int \cfrac{4x^3}{\sqrt{9-x^8}} \cdot dx$
$\int \cfrac{x^2}{\sqrt{21-x^6}} \cdot dx$
$\int \cfrac{3e^{3x}}{\sqrt{25-e^{6x}}} \cdot dx$
$\int \cfrac{cos \, 7x}{\sqrt{5-sen^2 \, 7x}} \cdot dx$
$\int \cfrac{1}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{5-x}} \cdot dx$
$\int \cfrac{2 \, sen \, x \cdot cos \, x}{\sqrt{9-sen^4 \, x}} \cdot dx$
$\int \cfrac{4x^{\frac{1}{3}}}{3 \sqrt{15 - x^{\frac{8}{3}}})} \cdot dx$
$\int \cfrac{1}{\sqrt{3+2x-x^2}} \cdot dx$
$\int \cfrac{1}{x \cdot \sqrt{17-(ln \, x)^2}} \cdot dx$
$\int \cfrac{1}{\sqrt{9-5x^2}} \cdot dx$

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/C%C3%A1lculo_de_primitivas_inmediatas_%282%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Funciones

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