Plantilla:Reglas de derivación (1ºBach)

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|sinopsis=Halla la derivada de: |sinopsis=Halla la derivada de:
-a) <math>f(x)=sen^3 ( ln x)\;</math>+a) <math>f(x)=sen^3 ( ln \, x)\;</math>
-b) <math>g(x)={sen (ln^3 x)\;</math>+b) <math>g(x)=sen (ln^3 x)\;</math>

Revisión de 18:12 28 mar 2020

Hemos visto en el apartado anterior como se obtiene la función derivada de una función. Es un proceso largo y pesado. Existen una serie de reglas, demostradas por medio de ese procedimiento, que nos permitirán aliviar el trabajo del cálculo de la función derivada.

Derivada de las funciones elementales

ejercicio

Reglas de derivación

  • Función constante:
D(k)=0 \, , \ \forall k \in \mathbb{R}
  • Función identidad:
D(x)=1\;
  • Función potencia:
D(x^n)=n \, x^{n-1}\;

  • Funciones trigonométricas directas:
D(sen\,x)=cos \, x
D(cos\,x)=-sen \, x
D(tg\,x)=1+tg^2\,x=\cfrac{1}{cos^2 x}
  • Funciones trigonométricas recíprocas:
D(arc\,sen\,x)=\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}
D(arc\,cos\,x)=\cfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}
D(arc\,tg\,x)=\cfrac{1}{1+x^2}
  • Funciones exponenciales:
D(e^x)=e^x\;
D(a^x)=a^x \cdot ln\,a

  • Funciones logarítmicas:
D(ln\,x)=\cfrac{1}{x}
D(log_a\,x)=\cfrac{1}{x} \cdot \cfrac{1}{ln\,a}

Derivada de operaciones con funciones

ejercicio

Reglas de derivación

  • Producto de una función por una constante:
D[k\,f(x)]=k\,f'(x)\;

  • Suma de funciones:
D[f(x)+g(x)]=f'(x)+g'(x)\;

  • Producto de funciones:
D[f(x) \cdot g(x)]=f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\;

  • Cociente de funciones:
D \left[ \cfrac{f(x)}{g(x)} \right]=\cfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}\;

  • Composición de funciones (Regla de la cadena):
D\{g[f(x)]\}=g'[f(x)] \cdot f'(x)\;

Ejercicios

ejercicio

Ejercicios resueltos: Reglas de derivación

Halla la derivada de las siguientes funciones:

  1. f(x)=2x^3-5x^2+3x-2\;
  2. g(x)=\sqrt{2x} + \sqrt[3]{5x^2}
  3. h(x)=\cfrac{1}{x \sqrt{x}}
  4. i(x)=2^{3x}\;
  5. j(x)=\cfrac{x^3}{x^2+1}
  6. k(x)=arc \, tg \sqrt{x^2+1}

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