Plantilla:Reglas de derivación (1ºBach)

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(Diferencia entre revisiones)

Revisión de 07:40 29 mar 2020

Hemos visto en el apartado anterior como se obtiene la función derivada de una función. Es un proceso largo y pesado. Existen una serie de reglas, demostradas por medio de ese procedimiento, que nos permitirán aliviar el trabajo del cálculo de la función derivada.

Derivada de las funciones elementales

Reglas de derivación

Función constante:

$D(k)=0 \, , \ \forall k \in \mathbb{R}$

Función identidad:

$D(x)=1\;$

Función potencia:

$D(x^n)=n \, x^{n-1}\;$

Funciones trigonométricas directas:

$D(sen\,x)=cos \, x$

$D(cos\,x)=-sen \, x$

$D(tg\,x)=1+tg^2\,x=\cfrac{1}{cos^2 x}$

Funciones trigonométricas recíprocas:

$D(arc\,sen\,x)=\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$D(arc\,cos\,x)=\cfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

$D(arc\,tg\,x)=\cfrac{1}{1+x^2}$

Funciones exponenciales:

$D(e^x)=e^x\;$

$D(a^x)=a^x \cdot ln\,a$

Funciones logarítmicas:

$D(ln\,x)=\cfrac{1}{x}$

$D(log_a\,x)=\cfrac{1}{x} \cdot \cfrac{1}{ln\,a}$

Demostración:

Derivada de la función constante (4'14") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función constante $f(x)=c\,$

Derivada de la función potencia de exponente constante (11'03") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función potencia de exponente constante $f(x)=x^n\,$

Derivada de la función seno (5'21") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función seno $f(x)=sen \, x$

Derivada de la función coseno (4'42") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función coseno $f(x)=cos \, x$

Derivada de la función tangente (3'54") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función tangente $f(x)=tg \, x$

Derivada de la función exponencial de base e (6'38") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función exponencial de base e $f(x)=e^x \,$

Derivada de la función logaritmo neperiano (4'10") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función logaritmo neperiano $f(x)=ln \, x$

Derivada de la función exponencial de base a (4'37") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función exponencial de base a $f(x)=a^x \,$

Derivada de la función logaritmo de base a (5'47") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función logaritmo neperiano $f(x)=log_a \, x$

Derivada de la función potencia de exponente constante (otro método) (5'41") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función potencia de exponente constante usando logaritmos $f(x)=x^n\,$

Derivada de la función arco seno (3'56") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función arco seno $f(x)=arcsen \, x$

Derivada de la función arco coseno (4'32") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función arco coseno $f(x)=arccos \, x$

Derivada de la función arco tangente (4'10") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función arco tangente $f(x)=arctg \, x$

Otras reglas:

Derivada de la función cotangente (4'16") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función cotangente $f(x)=cotg \, x$

Derivada de la función secante (3'21") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función secante $f(x)=sec \, x$

Derivada de la función cosecante (3'47") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función cosecante $f(x)=cosec \, x$

Derivada de la función arco cotangente (3'59") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función arco cotangente $f(x)=arccotg \, x$

Derivada de la función arco secante (4'14") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función arco secante $f(x)=arcsec \, x$

Derivada de la función arco cosecante (4'35") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función arco cosecante $f(x)=arccosec \, x$

Ejemplos:

$f(x)=x^5 \ \rightarrow \ f'(x)=5x^4$
$f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} \ \rightarrow \ f'(x)=\cfrac{1}{2} \, x^{(\frac{1} {2}-1)}=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$f(x)=2^x \ \rightarrow \ f'(x)=2^x \cdot ln \, x$
$f(x)=log_2 \,x \ \rightarrow \ f'(x)=\cfrac{1}{x} \cdot \cfrac{1}{ln\,2}$

Derivada de operaciones con funciones

Reglas de derivación

Producto de una función por una constante:

$D[k\,f(x)]=k\,f'(x)\;$

Ejemplo:

$f(x)=5x^3 \ \rightarrow \ f'(x)=5\,D(x^3)=5 \cdot 3x^2=15x^2$

Suma de funciones:

$D[f(x)+g(x)]=f'(x)+g'(x)\;$

Ejemplo:

$f(x)=3x^4+3x^2-1 \ \rightarrow \ f'(x)=D(3x^4)+D(3x^2)+D(-1)=$

$=12x^3+6x +0=12x^3+6x\;$

Producto de funciones:

$D[f(x) \cdot g(x)]=f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\;$

Ejemplo:

$f(x)=x^3 \cdot cos\,x \ \rightarrow \ f'(x)=D(x^3) \cdot cos \, x +x^3 \cdot D(cos \, x)$

$=3x^2 \cdot cos \, x - x^3 \cdot sen \, x$

Cociente de funciones:

$D \left[ \cfrac{f(x)}{g(x)} \right]=\cfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}\;$

Ejemplo:

$f(x)=\cfrac{sen \, x}{cos \, x} \ \rightarrow \ f'(x)=\cfrac{D(sen \, x) \cdot cos \, x -sen \, x \cdot D(cos \, x)}{cos^2x}=$

$=\cfrac{cos^2 x +sen^2 x}{cos^2 x}=\cfrac{1}{cos^2 x}$

Composición de funciones (Regla de la cadena):

$D\{g[f(x)]\}=g'[f(x)] \cdot f'(x)\;$

Ejemplo:

$f(x)=sen^2 x \ \rightarrow \ f'(x)=2 \, sen \, x \cdot D[sen \, x]=2 \, sen \, x \cdot cos \, x$

Reglas de derivación

Tutorial 1 (Lista de reproducción) Sinopsis:

Las reglas de derivación nos permiten calcular derivadas sin calcular límites.

Tutorial 2 (Lista de reproducción) Sinopsis:

Las reglas de derivación nos permiten calcular derivadas sin calcular límites.

Tutorial 3 (56'32") Sinopsis:

Las reglas de derivación nos permiten calcular derivadas sin calcular límites.

Derivada de un producto (8'01") Sinopsis:

Demostración de la fórmula de la derivada de un producto.

Ejemplos 1 (15'36") Sinopsis:

22 ejemplos sencillos de aplicación de las reglas de derivación.

Ejemplos 2 (26'28") Sinopsis:

Ejemplos de cálculo de la derivada de una función usando las reglas de derivación.

Regla de la cadena

Ejercicio 1 (5'46") Sinopsis:

Halla la derivada de: $y=(5x-2x^4)^3\;$

Ejercicio 2 (14'44") Sinopsis:

Halla la derivada de: $y=\sqrt[5]{\cfrac{x^3-2}{x^3+2}}\;$

Ejercicio 3 (7'12") Sinopsis:

Halla la derivada de: $y=sen \, 2x \cdot ln \,x^2\;$

Ejercicio 4 (17'28") Sinopsis:

Halla la derivada de:

a) $f(x)=\left( \cfrac{3x^2+6x}{x^3-4} \right)^5\;$

b) $g(x)=\sqrt{sen^{-1}(3x)}\;$

c) $h(x)=e^{x \, ln \, x} \cdot 2^{-x}\;$

d) $i(x)=log_2 \, \sqrt[3]{\cfrac{3-x}{x+3}}\;$

Ejercicio 5 (11'14") Sinopsis:

Halla la derivada de:

a) $f(x)=sen^3 ( ln \, x)\;$

b) $g(x)=sen (ln^3 x)\;$

Ejercicio 6 (8'43") Sinopsis:

Halla la derivada de:

a) $f(x)=sen ( ln \, x^3)\;$

b) $g(x)=ln^3 (sen \, x)\;$

Derivadas de familias de funciones

Derivada de las funciones trigonométricas (17'47") Sinopsis:

Reglas de derivación de las funciones trigonométricas para casos simple y para casos complejos aplicando la regla de la cadena. Ejemplos.

Derivada de las funciones exponenciales (9'04") Sinopsis:

Reglas de derivación de las funciones exponenciales para casos simple y para casos complejos aplicando la regla de la cadena. Ejemplos.

Derivada de las funciones logarítmicas (12'24") Sinopsis:

Reglas de derivación de las funciones logarítmicas para casos simple y para casos complejos aplicando la regla de la cadena. Ejemplos.

Derivada de las funciones trigonométricas inversas (22'04") Sinopsis:

Reglas de derivación de las funciones trigonométricas inversas para casos simple y para casos complejos aplicando la regla de la cadena. Ejemplos.

Estrategias para aplicar las reglas de las derivadas (15'26") Sinopsis:

Videotutorial

Tabla de derivadas

Ejercicios

Ejercicios resueltos: Reglas de derivación

Halla la derivada de las siguientes funciones:

$f(x)=2x^3-5x^2+3x-2\;$
$g(x)=\sqrt{2x} + \sqrt[3]{5x^2}$
$h(x)=\cfrac{1}{x \sqrt{x}}$
$i(x)=2^{3x}\;$
$j(x)=\cfrac{x^3}{x^2+1}$
$k(x)=arc \, tg \sqrt{x^2+1}$

Solución:

$f'(x)=6x^2-10x+3\;$
$g'(x)=\cfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{x}}+\cfrac{2\sqrt[3]{5}}{3\sqrt[3]{x}}$
$h'(x)=-\cfrac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}$
$i'(x)=8^x \cdot ln \, 8$
$j'(x)=\cfrac{x^4+3x^2}{x^4+2x^2+1}$
$i'(x)=\cfrac{1}{x^2+2} \cdot \cfrac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x$

Ejercicios: Reglas de derivación

Ejercicios 1 y 2 (3'49") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

1. $f(x)=7x^6-5x^8+9x^3+14x-2\;$

2. $h(x)=x^6-\cfrac{1}{x^6}-e^6+ln\,6-\cfrac{6}{x}\;$

Ejercicios 3, 4 y 5 (6'19") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

3. $y=\cfrac{x^2}{2}-\cfrac{x^7}{7}\;$

4. $y=2x^\frac{3}{4}+4x^{-\frac{1}{4}}\;$

5. $y=\cfrac{a+bx+cx^2}{x}\;$

Ejercicio 6 (4'01") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

6. $m(x)=e^{5x} \ ln\,(2x-9)\;$

Ejercicio 7 (5'20") Sinopsis:

Calcula la derivada de y respecto de la variable t:

7. $y=t\,\sqrt{a^2+t^2}\;$

Ejercicio 8 (3'45") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

8. $P(x)=\cfrac{x^2+x^3}{x^4-7}\;$

Ejercicio 9 (6'18") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

9. $f(x)=\cfrac{3x-5}{(x^2+1)^2}\;$

Ejercicio 10 (1'54") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

10. $R(x)=(5x^6-7)^8\;$

Ejercicio 11 (6'57") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

11. $f(x)=\sqrt{\cfrac{a^2+x^2}{a^2-x^2}}\;$

Ejercicio 12 (2'30") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

12. $y=cos^2x+cos(x^2)\;$

Ejercicio 13 (2'19") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

13. $y=\cfrac{3^{x^2}}{3^x}\;$

Ejercicio 14 (2'21") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

14. $y(t)=\cfrac{ln\,t^8}{ln\,t^{11}}\;$

Ejercicio 15 (9'14") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

15. $y=\cfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\;$

Ejercicio 16 (3'48") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

16. $y=ln\,(sen\,x \cdot cos\,x)\;$

Ejercicio 17 (8'01") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

17. $f(x)=tan^3(2^{5x^4})\;$

Ejercicio 18 (9'26") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

18. $f(x)=e^{x^2\,\sqrt{3x-1}}\;$

Ejercicio 19 (10'21") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

19. $f(x)=-\cfrac{1}{8} \ arc\,sen \left( \cfrac{4}{x^2}\right)\;$

Ejercicio 20 (6'06") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

20. $f(x)=ln \left[\cfrac{(x+4)^2 (x-1)^3}{(x-7)^5}\right]$

Ejercicio 21 (5'11") Sinopsis:

21. Sabiendo que f(2)=4, f'(4)=6 y f'(2)=-2, calcula:

a) $(fof)'(2)\,$

b) La derivada de $\left[ f(x) \right]^3$ cuando x=2.

Ejercicio 22 (5'53") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=e^{cos \, x} \cdot cos\, (e^x)\;$

Ejercicio 23 (4'53") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=sen \, (ln \, (x^2))\;$

Ejercicios: Derivadas de funciones algebraicas

Ejercicio 1 (1'24") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=x^6\;$

Ejercicio 2 (1'39") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=3x^4\;$

Ejercicio 3 (2'16") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{x^{10}}{5}\;$

Ejercicio 4 (2'58") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{6}{x^3}\;$

Ejercicio 5 (3'17") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=-\cfrac{3}{x^6}\;$

Ejercicio 6 (1'57") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=5x+4\;$

Ejercicio 7 (3'14") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=7x^2+3x-2\;$

Ejercicio 8 (3'50") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\sqrt{x}\;$

Ejercicio 9 (3'33") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=x^4-2x^3+8x^2-x-10\;$

Ejercicio 10 (3'43") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{\sqrt[3]{x}}{2}\;$

Ejercicio 11 (4'37") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{6}{\sqrt{x}}\;$

Ejercicio 12 (4'26") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{5}{\sqrt[4]{x}}\;$

Ejercicio 13 (4'36") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{x^3}{6}-\cfrac{2x^2}{5}-\cfrac{7x}{9}-\cfrac{3}{5}\;$

Ejercicio 14 (3'51") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{x^2}{\sqrt{5}}-\cfrac{x}{3}+\sqrt{10}\;$

Ejercicio 15 (5'07") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{4}{x^2}-\cfrac{3}{x}+\cfrac{9}{2}\;$

Ejercicio 16 (5'47") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{x^3}{4}-\cfrac{3}{x^2}+\cfrac{4}{x}-9\;$

Ejercicio 17 (7'19") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{\sqrt[3]{x}}{5}-\cfrac{2}{\sqrt[3]{x}}\;$

Ejercicio 18 (6'28") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{x^4-9x^3-3x^2-x+4}{x}\;$

Ejercicio 19 (6'58") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=2x^{\frac{3}{2}}+\cfrac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-\cfrac{4}{3}x^{\frac{2}{3}}\;$

Ejercicio 20 (9'32") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=4\sqrt{x}+3\sqrt[3]{x^2}+4\sqrt{x^3}\;$

Ejercicio 21 (8'56") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{2}{\sqrt[4]{x^3}}+\cfrac{1}{\sqrt[3]{x}}-\cfrac{3}{x^{-2}}\;$

Ejercicio 22 (4'54") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{5}{x^{-3}}+\cfrac{2}{x^4}\;$

Ejercicio 23 (11'51") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{3x^2+5x+8}{\sqrt[4]{x}}\;$

Ejercicio 24 (5'58") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\left[(2x^4)^3 \right]^2+10x^3\;$

Ejercicios: Regla de la cadena

Ejercicio 1 (4'18") Sinopsis:

Halla la derivada de: $y=(x+3)^5\;$

Ejercicio 2 (3'37") Sinopsis:

Halla la derivada de: $y=(3x^2+4)^5\;$

Ejercicios: Derivada del producto de funciones

Ejercicio 1 (4'54") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=x^3(3x+1)\;$

Ejercicio 2 (7'45") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=(4x^2-\cfrac{1}{2}x)(9x+8)\;$

Ejercicio 3 (8'50") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{x}{3} \, (2x+1)^3\;$

Ejercicio 4 (11'53") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=(2x+3)\sqrt{x^2+3x}\;$

Ejercicio 5 (10'26") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=(3x^2-5)^4(2x^2+1)^3\;$

Ejercicio 6 (10'45") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=(6x+3)\sqrt{3x+2}\;$

Ejercicios: Derivada del cociente de funciones

Ejercicio 1 (6'41") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{2-x}{1+3x^2}\;$

Ejercicio 2 (12'02") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{\sqrt{4-3x}}{x^2}\;$

Ejercicio 3 (12'08") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{(9x-6)^3}{(27-3x)^2}\;$

Ejercicio 4 (15'21") Sinopsis:

Calcula la derivada de: No se pudo entender (función desconocida\sqrtt): y=\cfrac{x\sqrtt{x+1}}{x+1}\;

Ejercicios: Derivadas de funciones trigonométricas

Ejercicio 1 (3'04") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=-10x+3\,cos \, x\;$

Ejercicio 2 (3'59") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{3}{x}+ 5\,sen\,x\;$

Ejercicio 3 (3'21") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=x^2\,cos \, x\;$

Ejercicio 4 (3'57") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=2x\,sec \, x + 3\;$

Ejercicio 5 (4'46") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=tg \, x;$

Ejercicio 6 (5'41") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=cotg \, x;$

Ejercicio 7 (4'30") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=sec \, x;$

Ejercicio 8 (4'40") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=cosec \, x;$

Ejercicio 9 (4'10") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=2\,sen\,x \, cos\,x;$

Ejercicio 10 (4'14") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=2x\,cos\,x -2\,sen\,x;$

Ejercicio 11 (7'30") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{(x-1)^2}{x\,sen\,x};$

Ejercicios: Derivadas de funciones logarítmicas

Ejercicio 1 (2'44") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=log \, 3x\;$

Ejercicio 2 (1'36") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=ln\,3x;$

Continuidad y derivabilidad (5'45") Sinopsis:

Estudio de la continuidad y de la derivabilidad de una función.

100 videos de derivadas Descripción:

Videotutoriales para aprender a derivar.

Derivadas

Actividad: Derivadas

Calcula la derivada de:

$a)\; arcsen x^2\;$

$b)\; tg^2 \cfrac{1}{x}\;$

$c)\; ln \, \cfrac{1}{x^2}\;$

$d)\; log_2 (sen \, x)\;$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) Derivate arcsin(x^2)

b) Derivate tan^2(1/x)

c) Derivate log(1/x^2)

d) Derivate log_2(sin x)

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Reglas_de_derivaci%C3%B3n_%281%C2%BABach%29"

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