Logaritmos (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Logaritmos
2 Propiedades de los logaritmos
3 Logaritmos decimales
- 3.1 Calculadora
4 Logaritmos neperianos
- 4.1 Calculadora

Logaritmos

Dado un número real $a>0 \quad (a \ne 1)$ , se define el logaritmo en base a de un número real $P\;$ , y se designa $log_a \ P$ , al exponente $x\;$ al que hay que elevar la base $a\;$ para obtener $P\;$ , es decir:

$log_a \ P=x \iff a^x=P$

Por consiguiente, podemos ver al logaritmo como la operación inversa de la potenciación.

Ejemplos: Logaritmos

Calcula los siguientes logaritmos: $log_2 \ 16,\ log_{10} \ 1000,\ log_2 \ \cfrac{1}{8}, \ log_{10} \ 0.01$

Solución:

$log_2 \ 16=4$ porque $2^4=16\;$
$log_{10} \ 1000=3$ porque $10^3=1000\;$
$log_2 \ \cfrac{1}{8}=-3$ porque $2^{-3}=\cfrac{1}{8}\;$
$log_2 \ 0.01=log_2 \ 10^{-2}=-2$ porque $10^{-2}=0.01\;$

Propiedades de los logaritmos

Propiedades consecuencia directa de la definición de logaritmo:

1: Logaritmo de la base:

a) $log_a \ a=1$

b) $log_a \ a^n=n$

2: Logaritmo de 1:

$log_a \ 1=0$

3: Logaritmo de números negativos o nulos:

Si $P \le 0$ , entonces $log_a \ P$ no existe.

Otras propiedades:

4: Igualdad y orden:

a) $P \ne Q \Rightarrow log_a \ P \ne log_a \ Q$

b) $P < Q \Rightarrow log_a \ P < log_a \ Q, \quad \forall a>1$

5: Logaritmo de un producto:

$log_a \ (P \cdot Q)=log_a \ P + log_a \ Q$

6: Logaritmo de un cociente:

$log_a \ \cfrac{P}{Q}=log_a \ P - log_a \ Q$

7: Logaritmo de una potencia:

$log_a \ P^n=n \cdot log_a \ P$

8: Logaritmo de una raíz:

$log_a \ \sqrt[n]{P}=\cfrac{1}{n} \cdot log_a \ P$

9: Cambio de base:

$log_a \ P=\cfrac{log_b \ P}{log_b \ a}$

Logaritmos decimales

Los logaritmos decimales son aquellos de base 10. En vez de representarlos por $log_{10}\;$ , los representaremos, simplemente, por $log\;$ . Esto es:

$log_{10} \ P=log \ P$

Calculadora

Calculadora: Logaritmo decimal

Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $\log \ 100$

Procedimiento: $100\;\!$

Solución: $2\;\!$

Antes de la existencia de las calculadoras, los logaritmos decimales se obtenían a partir de las llamadas tablas logarítmicas.

Haciendo uso de la propiedad del cambio de base, vista en un apartado anterior, podemos calcular logaritmos en cualquier base utilizando logaritmos decimales. He aquí un ejemplo:

Ejemplo: Cambio de base

Calcula $log_2 \ 15$ usando la calculadora.

Solución:

Como la calculadora científica no tiene logaritmos en base 2, mediante la fórmula del cambio de base haremos un cambio de base 2 a base 10:

$log_2 \ 15=\cfrac{log \ 2}{log \ 15}=$

ya que $log \ 2$ y $log \ 15$ se pueden obtener directamente con la calculadora.

Logaritmos neperianos

John Napier (Neper)

Los logaritmos neperianos son aquellos de base e (número e: 2.71828...). En vez de representarlos por $log_{e}\;$ , los representaremos, simplemente, por $ln\;$ . Esto es: