Concepto de sucesión (1ºBach)

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Concepto de sucesión

Se llama sucesión a un conjunto ordenado de números. A los elementos de la sucesión se les llama términos. Los términos se representan con una misma letra y un subíndice que indica el lugar que ocupa en la sucesión.

$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$

La sucesión de Fibonacci y el número áureo

Ejemplo: Sucesión de Fibonacci y número áureo

Fibonacci

El siguiente problema fue propuesto por Fibonacci, matemático italiano del siglo XIII:

"Cuántas parejas de conejos se producirán en un año, comenzando con una pareja única, si cada mes cualquier pareja engendra otra pareja, que se reproduce a su vez desde el segundo més?"

a) Escribe la sucesión cuyos términos son lás parejas de conejos que hay cada més. Esta recibe el nombre de sucesión de Fibonacci.

b) Ahora vas a construir la sucesión que se obtiene al dividir cada término entre el anterior. Esa sucesión verás que se aproxima al número áureo phi:

$\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.618033988...$

Solución:

a) Sucesión de Fibonacci:

Valor inicial: 1 pareja
Mes 1: 1 pareja (hasta el segundo mes no se reproduce la primera)
Mes 2: 2 parejas (Primera vez que se reproduce)
Mes 3: 3 parejas (la primera pareja vuelve a reproducirse pero la segunda no lo hace hasta el próximo mes)
Mes 4: 5 parejas (la primera y la segunda pareja ya se reproducen, la tercera aún no)
Mes 5: 8 parejas (Se reproducen las 3 primeras parejas, las otras dos no)
Mes 6: 13 parejas (Se reproducen las 5 parejas de hace 2 meses, pero las 3 nuevas del mes anterior aún no)

Así se obtiene una sucesión en la que cada término se obtiene a partir de la suma de los dos anteriores:

$1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89, \cdots$

b) Sucesión del número áureo:

Dividiendo cada término entre el anterior, tenemos:

$\cfrac{1}{1},\ \cfrac{2}{1},\ \cfrac{3}{2},\ \cfrac{5}{3},\ \cfrac{8}{5},\ \cfrac{13}{8},\ \cdots$

$1,\ 2,\ 1.5,\ 1.66,\ 1.6,\ 1.625,\ 1.615 \cdots \rightarrow \phi$

Video: La divina proporción. El número Phi ( $φ$ ) (6´)

Sinopsis:

Documental sobre la historia del número Phi

(φ)

y la divina proporción.

Video:

Click aquí si no se ve bien la escena

Click aquí para enlace desde servidor TIC

Web: [Phi, el número de oro Phi, el número de oro]

Descripción:

A lo largo de la historia, Phi, el número de oro o número áureo, ha representado, para las personas que lo han conocido, la belleza, la magia, la perfección, lo divino. ¿Por qué?. Página elaborada por D. Luis Nicolás Ortiz.

Término general de una sucesión

Se llama término general de una sucesión, y se simboliza por $a_n\;$ , a la expresión matemática que sirve para calcular cualquier término de la sucesión. Para ello, sustituiremos n en la expresión del término general por el índice del término que queramos averiguar.

Hay veces que el término general se puede expresar mediante una función: $a_n=f(n)\;$ .

Otras veces, cada término de la sucesión se obtiene a aprtir de operaciones con otros términos anteriores. A estas sucesiones se les llama recurrentes.

Ejemplo: Término general de una sucesión

Halla el término general de las siguientes sucesiones:

a) 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...

b) 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...

c) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

Solución:

a) $a_n=n^2\;$