Factorización de polinomios (1ºBach)
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Tabla de contenidos |
Divisibilidad de polinomios
Polinomios múltiplos y divisores
La divisibilidad en el conjunto de los polinomios es muy similar a la .
Un polinomio es divisor de otro,
y lo representaremos por
, si la división
es exacta. Es decir, cuando
|
En tal caso, diremos que es divisible por
. También diremos que
es un múltiplo de
.
![(3x+1) \cdot (x^2-5x+3) =3x^3-14x^2+4x+3 \Rightarrow (3x^3-14x^2+4x+3):(3x+1)=x^2-5x+3](/wikipedia/images/math/1/5/9/159acf7bc932bb85bcdc647b9bf88a78.png)
La divisibilidad de polinomios es semejante a la divisibilidad con números enteros. Asimismo, la factorización de polinomios equivale a la descomposición de un número en factores primos, y los conceptos de máximo común divisor, mínimo común múltiplo e irreducibilidad son similares a los correspondientes conceptos numéricos.
Polinomios irreducibles
Un polinomio es irreducible cuando ningún polinomio de grado inferior es divisor suyo.
Son polinomios irreducibles, entre otros:
- Los de primer grado:
- Los de segundo grado sin raíces:
Factorización de polinomios
Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios con el menor grado posible.
Factorización de polinomios de grado 2
Factorización de polinomios de segundo grado
Un polinomio de segundo grado, , con raíces rales,
y
, se puede factorizar de la forma
![k(x-a)(x-b)\;](/wikipedia/images/math/e/c/c/ecc3fe86589403e2f8ce43fec76d9b07.png)
- El polinomio
tiene dos raíces:
, que se obtienen de resolver la ecuación de segundo grado
. Entonces:
![5x^2+5x-60=5(x-3)(x+4)\;](/wikipedia/images/math/0/5/f/05fe42210fe93646bbc60ad41c7cc860.png)
- El polinomio incompleto de grado 3,
, se puede descomponer de la siguiente manera:
![5x^3+5x^2-60x=x(5x^2+5x-60)=5x(x-3)(x+4)\;](/wikipedia/images/math/a/c/2/ac243be6ca25df5efc8e1191d0f26cfd.png)
- (Observa que primero hemos sacado factor común
y luiego hemos factorizado el polinomio de grado 2, como hicimos en el ejemplo anterior).
División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini
Regla de Ruffini
La Regla de Ruffini nos permite dividir un polinomio entre un binomio de la forma , siendo
un número entero.
Debemos esta regla al matemático italiano Paolo Ruffini,
Vamos a dividir el polinomio
![P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0](/wikipedia/images/math/1/b/a/1ba2d0c09123aa8c1256a18ea645c37f.png)
entre el binomio
![Q(x)=x-r\,\!](/wikipedia/images/math/6/d/2/6d2e617d0b10eda401ff960a8387d8b1.png)
para obtener el cociente
![C(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0](/wikipedia/images/math/3/6/f/36fb8a296fa48cfd184e5d794d27cad0.png)
y el resto .
1. Trazamos dos líneas a manera de ejes. Cogemos los coeficientes de P(x) y los escribimos ordenados. Entonces escribimos r en la parte inferior izquierda del eje, encima de la línea:
| an an-1 ... a1 a0 | r | ----|--------------------------------------------------------- | |
2. Pasamos el coeficiente más pegado a la izquierda (an) abajo, justo debajo de la línea para obtener el primero de los coeficientes b:
| an an-1 ... a1 a0 | r | ----|--------------------------------------------------------- | an | | = bn-1 |
3. Multiplicamos el número más pegado a la derecha debajo de la línea por r y lo escribimos sobre la línea en la primera posición de la derecha:
| an an-1 ... a1 a0 | r | bn-1r ----|--------------------------------------------------------- | an | | = bn-1 |
4. Añadimos los dos valores que hemos puesto en la misma columna:
| an an-1 ... a1 a0 | r | bn-1r ----|--------------------------------------------------------- | an an-1+(bn-1r) | | = bn-1 = bn-2 |
5. Repetimos los pasos 3 y 4 hasta que no tengamos más números:
| an an-1 ... a1 a0 | r | bn-1r ... b1r b0r ----|--------------------------------------------------------- | an an-1+(bn-1r) ... a1+b1r a0+b0r | | = bn-1 = bn-2 ... = b0 = s |
Los valores b son los coeficientes del polinomio resultante , el grado será menor que el grado de
. El resto será
.
Ejemplo: Regla de Ruffini
Divide los polinomios usando la regla de Ruffini:
7 -5 -4 6 -1 2 14 18 28 68 7 9 14 34 67 Operaciones: El resultado significa que el cociente de la división
y el resto es
-
Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2
- Siempre que se pueda, sacaremos x factor común.
- Mediante la regla de Ruffini buscaremos las raíces enteras del polinomio, que se hallan entre los divisores del término independiente. Así, si encontramos una raíz
de un polinomio
, tendremos que
, donde
tiene un grado menos que
.
- Si es un polinomio bicuadrado, ax^4+bx^2+c\;, podremos hallarle las raices resolviendo la ecuación bicuadrada que resulta de igualarlo a cero.
- Si un polinomio de grado mayor que 2 no puede factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con lo sconocimientos que tenemos.