Inecuaciones con una incógnita (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Inecuaciones con una incógnita
2 Inecuaciones lineales con una incógnita
- 2.1 Resolución de una inecuación lineal con una incógnita
  - 2.1.1 Método algebraico de resolución
  - 2.1.2 Método gráfico de resolución
3 Sistema de inecuaciones con una incógnita
4 Inecuaciones cuadráticas con una incógnita
- 4.1 Resolución de inecuaciones cuadráticas con una incógnita

Inecuaciones con una incógnita

Una inecuación con una incógnita es una desigualdad entre expresiones matemáticas con una sola variable o incógnita.
Una solución de una inecuación con una incógnita, $x\;$ , es un valor de la variable $x\;$ que hace que se cumpla la desigualdad.
Resolver una inecuación consiste en hallar todas sus soluciones. Habitualmente son infinitas y se expresan mediante intervalos de la recta real, aunque tambien puede ser finitas o no existir.

Ejemplos

$x^2+3x \le 1\;$ es una inecuación cuadrática no estricta con una incógnita.
$x = -1\;$ es una solución de la inecuación anterior porque $(-1)^2+3(-1)=-2 \le 1$

Resolución de inecuaciones con una incógnita

Para resolver las inecuaciones con una incógnita podemos utilizar dos métodos:

El método algebraico que consiste en despejar la incógnita usando las reglas para trabajar con desigualdades antes mencionadas. Se podrá aplicar a las inecuaciones lineales, pero no a las cuadráticas ni a las de grado superior.

El método gráfico que se apoya en el estudio del signo de una función polinómica. En este método, primero se pasan todos los términos al lado izquierdo de la inecuación, dejando el lado derecho cero. A continuación, se estudia el signo del polinomio que queda en el lado izquierdo. Se podrá aplicar a las tanto a las inecuaciones lineales como a las cuadráticas y de grado superior.

Inecuaciones lineales con una incógnita

Una inecuación lineal con una incógnita es una inecuación, en la que las expresiones matemáticas que intervienen en la desigualdad, son polinomios de primer grado en una sola variable. En consecuencia, puede ponerse, mediante transformaciones, de alguna de estas formas:

$ax+b<0 \ , \quad ax+b \le 0 \ , \quad ax+b>0 \ , \quad ax+b \ge 0 \qquad (a \ne 0)$

donde $a,b \in \mathbb{R}$ son los coeficientes y $x \;$ es la variable.

Ejemplos

Son inecuaciones lineales con una incógnita:

$5x+3<1\;$

$2x-1 \ge 2-x\;$

Resolución de una inecuación lineal con una incógnita

Método algebraico de resolución

El método algebraico aplica las anteriores transformaciones para conseguir dejar despejada la incógnita.

Ejemplo: Inecuaciones lineales con una incógnita (método algebraico)

Resuelve la siguiente inecuación:

$-3x+2<5\;$

Solución:

$-3x+2<5 \ \rightarrow \ -3x<5-2 \ \rightarrow \ -3x<3 \ \rightarrow \ x>\cfrac{~3}{-3} \ \rightarrow \ x>-1$

Solución: $x \in (-1,+ \infty)$

Inecuaciones lineales con una incógnita

Tutorial 1 (9'33") Sinopsis:

Inecuaciones de primer grado con una incógnita. Ejemplos.

Tutorial 2 (32'41") Sinopsis:

Todo lo que necesitas saber para resolver inecuaciones de primer grado. Tutorial que explica de forma completa la resolución de inecuaciones de primer grado, empezando con algunos conceptos teóricos y resolviendo muchos ejericios desde muy sencillos, para entender mejor las propiedades de la regla de la suma y del producto.

00:00 a 09:00: Conceptos básicos. Definiciones. Desigualdades.
9:00 a 15:43: Reglas de la Suma y del Producto.
15:43 a 20:45: Ejemplos donde se aplica la regla del producto.
20:45 a 22:50: Algoritmo de resolución de inecuaciones de 1er grado.
22:50 a 32:41: Aplicación del algoritmo. Ejemplos resueltos.

Tutorial 3 (16'17") Sinopsis:

Inecuaciones de primer grado con una incógnita. Ejemplos.

Tutorial 4a (8'26") Sinopsis:

Inecuaciones de primer grado con una incógnita. Ejemplos.

Tutorial 4b (6'25") Sinopsis:

Inecuaciones de primer grado con una incógnita. Ejemplos.

Tutorial 4c (8'38") Sinopsis:

Inecuaciones de primer grado con una incógnita. Ejemplos.

Ejercicio 1 (6'35") Sinopsis:

Resuelve:

a) $x-2>1\;$

b) $x+1<-2\;$

c) $x+3 \ge 1\;$

Ejercicio 2 (5'49") Sinopsis:

Resuelve:

a) $x-1<1\;$

b) $x+3 \le 0\;$

c) $x-9 \ge -5\;$

Ejercicio 3 (5'23") Sinopsis:

Resuelve:

a) $3x>12\;$

b) $-2x<4\;$

c) $x-9 \ge -5\;$

Ejercicio 4 (3'47") Sinopsis:

Resuelve:

a) $\cfrac{x}{2}<3\;$

b) $\cfrac{~x}{-3} \le 1\;$

c) $x-9 \ge -5\;$

Ejercicio 5 (4'55") Sinopsis:

Resuelve: $7x-4<2x+1\;$

Ejercicio 6 (5'06") Sinopsis:

Resuelve: $1+x \ge 3-2x\;$

Ejercicio 7 (4'24") Sinopsis:

Resuelve: $2x-1 > 4x+5\;$

Ejercicio 8 (6'13") Sinopsis:

Resuelve: $1-4x \le 2x+4\;$

Ejercicio 9 (5'16") Sinopsis:

Resuelve: $\cfrac{2x-3}{2} \le 5-3x\;$

Ejercicio 10 (4'23") Sinopsis:

Resuelve: $\cfrac{5x+1}{-3} \le 2-x\;$

Ejercicio 11 (6'04") Sinopsis:

Resuelve: $\cfrac{2x-1}{4} +1 \le x+3\;$

Ejercicio 12 (3'25") Sinopsis:

Resuelve: $\cfrac{1+x}{2} > \cfrac{3+2x}{5}\;$

Ejercicio 13 (4'38") Sinopsis:

Resuelve: $\cfrac{2-4x}{3} \ge \cfrac{1-2x}{2}\;$

Ejercicio 14 (7'05") Sinopsis:

Resuelve: $\cfrac{1}{3}x+\cfrac{1}{2} < \cfrac{2}{5}x - \cfrac{3}{4}\;$

Ejercicio 15 (6'23") Sinopsis:

Resuelve: $\cfrac{x}{2}-\cfrac{1}{4} \ge \cfrac{2x}{5} + \cfrac{1}{3}\;$

Ejercicio 16 (4'30") Sinopsis:

Resuelve: $(2x-3)(5+x) \le (1+x)(2x+3)\;$

Ejercicio 17 (5'16") Sinopsis:

Resuelve: $(x+2)^2 > (x+3)(x+2)\;$

Ejercicio 18 (2'43") Sinopsis:

Resuelve: $3(2x-1) > 4+5(x-1)\;$

Ejercicio 19 (8'20") Sinopsis:

Resuelve: $\cfrac{4-x}{3}-\cfrac{2}{5} \le \cfrac{-2x-3}{-3}\;$

Ejercicio 20 (11'55") Sinopsis:

Resuelve:

a) $3x+6 \le 0\;$

b) $2(x+8) \le 3x+1\;$

c) $2x^2-x+11 \le 3\;$

Ejercicio 21 (3'57") Sinopsis:

Resuelve: $7x-2 > 3x-14\;$

Ejercicio 22 (4'33") Sinopsis:

Resuelve: $\cfrac{x}{3}+10 < 2x-\cfrac{5}{3}\;$

Ejercicio 23 (3'54") Sinopsis:

Resuelve: $4(x-3)-8 \le 5-x\;$

Ejercicio 24 (3'22") Sinopsis:

Resuelve: $\cfrac{5x-1}{3} > 3\;$

Ejercicio 25 (5'51") Sinopsis:

Resuelve: $(4x+1)(2x-2) \ge 8x(x+5)\;$

Ejercicio 26 (6'39") Sinopsis:

Resuelve: $\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{2}x \le \cfrac{5}{6}x-\cfrac{10}{3}\;$

Ejercicio 27 (5'37") Sinopsis:

Resuelve: $-3-\cfrac{x+4}{2} \ge 10-3x\;$

Ejercicio 28 (12'47") Sinopsis:

Resuelve y representa gráficamente las soluciones:

a) $-0.5x \le 7.5\;$

b) $75x \ge 125\;$

c) $\cfrac{x}{-3} > -\cfrac{10}{9}\;$

d) $\cfrac{x}{-15} < 8\;$

Ejercicio 29 (2'57") Sinopsis:

Resuelve y representa gráficamente las soluciones:

$-5c \le 15\;$

Ejercicio 30 (4'39") Sinopsis:

Resuelve y representa gráficamente las soluciones:

$\cfrac{2}{3}>-4y -8 \begin{matrix} \frac{1}{3} \end{matrix}\;$

Ejercicio 31 (6'28") Sinopsis:

Resuelve y representa gráficamente las soluciones:

$-3p-7<p+9\;$

Ejercicio 32 (4'25") Sinopsis:

Resuelve y representa gráficamente las soluciones:

$5x+7>3(x+1)\;$

Ejercicio 33 (9'48") Sinopsis:

Resuelve y representa gráficamente las soluciones:

a) $4x+3<-1\;$

b) $5x>8x+27\;$

c) $8-5(4x+1) \ge -1+2(4x-3)\;$

Ejercicio 34 (4'02") Sinopsis:

Resuelve y representa gráficamente las soluciones:

$\cfrac{3x-1}{2}-\cfrac{x-1}{3}<2x-1\;$

Problema 1 (2'11") Sinopsis:

Un contratista está comprando baldosas de piedra para un patio. Cada baldosa cuesta $3, y quiere gastar menos de $1000. El tamaño de cada baldosa es de 1 pie cuadrado. Escribe una desigualdad que represente el número de baldosas que puede comprar y averigua cómo de grande puede ser el patio.

Problema 2 (2'42") Sinopsis:

Una popular banda de blues regresó recientemente de una exitosa gira por tres ciudades donde tocaron para al menos 120 000 personas. Si tenían una audiencia de 45 000 en Ciudad de México y otras 33 000 en Guadalajara, ¿Qué puedes decir de las personas que asistieron en Acapulco?

Problema 3 (6'41") Sinopsis:

En los últimos años, Granja Arce ha cosechado alrededor de 1000 manzanas más que su principal rival de la región, Huerto Rio Grande. Debido al clima frio de este año, la cosecha bajó en un tercio. Sin embargo, ambas granjas compensaron parte de ese déficit mediante la compra de cantidades iguales de manzanas de las granjas de estados vecinos.

a) ¿Qué se puede decir del número de manzanas en cada granja?

b) ¿Tiene una granja mayor cantidad de manzanas que la otra o tienen la misma cantidad? ¿Cómo lo sabes?

Inecuaciones lineales

Autoevaluación 1a Descripción:

Autoevaluación sobre inecuaciones lineales de un paso.

Autoevaluación 1b Descripción:

Autoevaluación sobre inecuaciones lineales de dos pasos.

Autoevaluación 1c Descripción:

Autoevaluación sobre problemas de inecuaciones lineales de varios pasos.

Autoevaluación 1d Descripción:

Autoevaluación sobre problemas de inecuaciones lineales.

Autoevaluación 2 Descripción:

Autoevaluación sobre inecuaciones lineales.

Autoevaluación 3 Descripción:

Autoevaluación sobre inecuaciones lineales.

Autoevaluación 4 Descripción:

Autoevaluación sobre inecuaciones lineales sencillas.

Autoevaluación 5 Descripción:

Autoevaluación sobre inecuaciones lineales más complejas.

Método gráfico de resolución

Inecuaciones lineales con una incógnita (método gráfico)

Las soluciones de una inecuación lineal con una incógnita son los puntos de la semirrecta que se encuentra a uno de los dos lados del punto de corte de la recta $y=ax+b \;$ con el eje de abscisas, es decir del punto $x=-\cfrac{b}{a}$ .

En una de las semirrectas con origen ese punto se cumple la condición $ax+b > 0\;$ y en la otra, la condición $ax-b < 0\;$ .

Así, para determinar la semirrecta solución, basta con fijarse en los valores de la variable x para los que la recta $y=ax+b \;$ está por encima o por debajo del eje de abscisas.

Si la inecuación no es estricta, el punto del extremo de la semirrecta, $x=-\cfrac{b}{a}$ , es también solución, ya que para él se verifica la igualdad.

Inecuaciones lineales con una incógnita (método gráfico) Descripción:

En la escena resolveremos la siguiente inecuación por el método gráfico:

$2x-3 \le 0 \;$

Para ello representamos la recta $y=2x-3\;$ y nos fijamos para que valores de x, la gráfica está por debajo del eje X (es negativa) o vale cero.

Inecuaciones lineales con una incógnita

Actividad: Inecuaciones lineales con una incógnita

Resuelve:

$-2x+1<7\,$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

-2x+1<7

Ejemplos:

Son inecuaciones linelaes con una incógnita:

$5x+3<1\;$

$-2x-1 \ge 2\;$

Sistema de inecuaciones con una incógnita

Para resolver un sistema de inecuaciones con una incógnita, hay que resolver cada inecuación por separado y finalmente seleccionar la solución común a ambas (intersección de los conjuntos solución de ambas).

Resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} 2x-6 & < 0 \\ \; \, x+2 & \ge 0 \end{cases}$

Solución:

Resolvemos cada inecuación por separado:

$2x-6 < 0 \ \rightarrow \ 2x<6 \ \rightarrow \ x<3 \ \rightarrow \ x \in (- \infty, 3)$

$x+2 \ge 0 \ \rightarrow \ x \ge -2 \ \rightarrow \ x \in [-2, +\infty)$

La solución común es la intersección de los conjuntos solución de ambas inecuaciones: $x \in [-2, +\infty) \cap (- \infty, 3) \ \rightarrow \ x \in [-2,3)$

Solución: $x \in [-2,3)$

Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita

Tutorial 1 (5'09") Sinopsis:

Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita. Ejemplos.

Tutorial 2 (28'11") Sinopsis:

Todo lo que necesitas saber para resolver sistemas de inecuaciones (lineales o cuadráticas) de una variable. Tutorial que explica de forma completa la resolución de estos sistemas, resolviendo varios ejericios donde se aplica el algoritmo.

- 00:00 a 3:50: Definiciones y algoritmo de resolución.

- 3:50 a 28:11: Aplicación del algoritmo. Ejemplos resueltos.

Tutorial 3 (5'09") Sinopsis:

Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita. Ejemplos.

Ejercicio 1 (5'14") Sinopsis:

Resuelve:

$\left . \begin{matrix} 5z+7 < 27 \\ 3x \le 18 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 2 (6'12") Sinopsis:

Resuelve:

$\left . \begin{matrix} 3y+7 < 2y \\ 4y+8 > -48 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 3 (3'11") Sinopsis:

Resuelve:

$\left . \begin{matrix} 5x-3 < 12 \\ 4x+1 > 25 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 4 (5'07") Sinopsis:

Resuelve:

$-16x \le 3x+5 \le 20\;$

Ejercicio 5 (13'12") Sinopsis:

Resuelve:

a) $-5 \le x-4 \le 13\;$

b) $-12 \le 2-5x \le 7\;$

c) $4x-1 \ge 7\;$ ó $\cfrac{9x}{2} < 3\;$

Ejercicio 6 (5'49") Sinopsis:

Resuelve:

$\left . \begin{matrix} y \le 2-x \\ y \le x+2 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 7 (27'24") Sinopsis:

Resuelve:

a) $\left . \begin{matrix} x^2-11x+24 < 0 \\ x^2-8x+15 < 0 \end{matrix} \right \}$

b) $2x(x-3) \ge x(x-4)-1\;$

Problema (Programación lineal) (22'43") Sinopsis:

1 ejercicio.

Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita

Autoevaluación 1 Descripción:

Autoevaluación sobre desigualdades compuestas.

Autoevaluación 2 Descripción:

Autoevaluación sobre sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.

Sistemas de inecuaciones con una incógnita

Actividad: Sistemas de inecuaciones con una incógnita

Resuelve:

a) $\begin{cases} 3x-9<0 \\ 2x+4 \ge 0 \end{cases}$

b) $\begin{cases} x^2-3x-4 \ge 0 \\ 2x-7>5 \end{cases}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) 3x-9<0 ; 2x+4>=0 o bien solve 3x-9<0 ; 2x+4>=0

b) x^2-3x-4>=0, 2x-7>5

Inecuaciones cuadráticas con una incógnita

Una inecuación cuadrática con una incógnita es una inecuación en la que las expresiones matemáticas que intervienen en la desigualdad, son polinomios de segundo grado en una sola variable. En consecuencia, puede ponerse, mediante transformaciones, de alguna de estas formas:

$ax^2+bx+c<0 \ , \quad ax^2+bx+c \le 0 \ , \quad ax^2+bx+c>0 \ , \quad ax^2+bx+c \ge 0 \qquad (a \ne 0)$

Ejemplos

Son inecuaciones cuadráticas con una incógnita:

$3x^2+5x-2>0\;$

$2x^2-1 \le 2-x\;$

Resolución de inecuaciones cuadráticas con una incógnita

Para resolver estas inecuaciones usaremos el método gráfico. Este método requiere que el miembro de la derecha de la inecuación sea cero, lo cual siempre se puede conseguir mediante transformaciones.

Inecuaciones cuadráticas

Tutorial (6'28") Sinopsis:

Inecuaciones de segundo grado con una incógnita. Ejemplos.

Tutorial 2a (21'11") Sinopsis:

Inecuaciones de segundo grado con una incógnita. Ejemplos.

Tutorial 2b (16'10") Sinopsis:

Inecuaciones de segundo grado con una incógnita. Ejemplos.

Método: por intervalos (tabla de signos):

Ejercicio 1 (13'06") Sinopsis:

Resuelve:

a) $x^2-9 \ge 0\;$

b) $x^2+9 \ge 0\;$

c) $-x^2-9 \ge 0\;$

d) $-x^2+9 \ge 0\;$

Ejercicio 2 (4'36") Sinopsis:

Resuelve: $9-x^2 > 0\;$

Ejercicio 3 (5'17") Sinopsis:

Resuelve: $x^2-x \ge 20\;$

Ejercicio 4 (5'15") Sinopsis:

Resuelve: $5x-x^2 < 0\;$

Ejercicio 5 (6'26") Sinopsis:

Resuelve: $x^2-3x+6 \le 2x+2\;$

Ejercicio 6 (9'54") Sinopsis:

Resuelve: $6x^2-7x-3 \le 0\;$

Ejercicio 7 (8'31") Sinopsis:

Resuelve: $2x^2-5x-3 > 0\;$

Ejercicio 8 (5'47") Sinopsis:

Resuelve: $x(x-2) \ge 3\;$

Ejercicio 9 (11'49") Sinopsis:

Resuelve: $x(3x+2) > (x+2)^2\;$

Ejercicio 10 (8'22") Sinopsis:

Resuelve: $(x-5)(x-4) \le 6\;$

Ejercicio 11 (8'23") Sinopsis:

Resuelve: $5x(x-2) \ge 3x+6\;$

Método: analizando el signo de los factores / por intervalos:

Ejercicio 1a (9'32") Sinopsis:

Resuelve: $(x+2)(x-1)>0\;$ analizando el signo de los factores.

Ejercicio 1b (6'52") Sinopsis:

Resuelve: $(x+2)(x-1)>0\;$ analizando el signo por intervalos.

Ejercicio 2a (6'52") Sinopsis:

Resuelve: $x^2+5x+4<0\;$ analizando el signo de los factores.

Ejercicio 2b (7'07") Sinopsis:

Resuelve: $x^2+5x+4<0\;$ analizando el signo por intervalos.

Ejercicio 3a (8'45") Sinopsis:

Resuelve: $x^2+2x \ge x+6\;$ analizando el signo de los factores.

Ejercicio 3b (7'50") Sinopsis:

Resuelve: $x^2+2x \ge x+6\;$ analizando el signo por intervalos.

Ejercicio 4a (7'10") Sinopsis:

Resuelve: $x^2+5x-2 \le x-2\;$ analizando el signo de los factores.

Ejercicio 4b (7'18") Sinopsis:

Resuelve: $x^2+5x-2 \le x-2\;$ analizando el signo por intervalos.

Ejercicio 5a (7'44") Sinopsis:

Resuelve: $x^2 < 9\;$ analizando el signo de los factores.

Ejercicio 5b (7'22") Sinopsis:

Resuelve: $x^2 < 9\;$ analizando el signo por intervalos.

Ejercicio 6a (8'53") Sinopsis:

Resuelve: $25 \ge 4x^2\;$ analizando el signo de los factores.

Ejercicio 6b (8'28") Sinopsis:

Resuelve: $25 \ge 4x^2\;$ analizando el signo por intervalos.

Inecuaciones cuadráticas

Actividad Descripción:

En la escena vamos a resolver la siguiente inecuación:

$x^2-5x+4<0\;$

Representamos la parábola $y=x^2-5x+4\;$ y nos fijamos para que valores de x, la gráfica está por debajo del eje X (es negativa).

En realidad basta hallar los puntos de corte con el eje X y determinar la dirección de las ramas a partir del signo del coeficiente de $x^2\;$ .

En este caso, los puntos de corte son $x_1=1\;$ y $x_2=4\;$ , soluciones de la ecuación de segundo grado

$x^2-5x+4=0\;$

y las ramas va hacia arriba porque el coeficiente de $x^2\;$ es positivo. Por tanto, las soluciones de la inecuación es: $x \in (1,4)\;$ .

Puedes cambiar los valores A, B y C para resolver gráficamente otras inecuaciones de segundo grado.

Autoevaluación Descripción:

Autoevaluación sobre inecuaciones cuadráticas.

Inecuaciones cuadráticas con una incógnita

Actividad: Inecuaciones cuadráticas con una incógnita

Resuelve:

a) $x^2-5x+4 \le 0$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) x^2-5x+4 <= 0

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Inecuaciones_con_una_inc%C3%B3gnita_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Álgebra

Inecuaciones con una incógnita (1ºBach)

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Tabla de contenidos

Inecuaciones con una incógnita

Inecuaciones lineales con una incógnita

Resolución de una inecuación lineal con una incógnita

Método algebraico de resolución

Método gráfico de resolución

Sistema de inecuaciones con una incógnita

Inecuaciones cuadráticas con una incógnita

Resolución de inecuaciones cuadráticas con una incógnita

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