Composición de funciones (1ºBach)

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Función compuesta

g o f, es la aplicación resultante de la aplicación sucesiva de f y de g. En el ejemplo, (g o f)(a)=@.
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g o f, es la aplicación resultante de la aplicación sucesiva de f y de g. En el ejemplo, (g o f)(a)=@.

La función compuesta es una función formada por la aplicación sucesiva de otras dos funciones. Formalmente:

Dadas dos funciones f: X \rightarrow Y y g: Y \rightarrow Z, donde la imagen de f\; está contenida en el dominio de definición de g\;, se define la función compuesta como:

\begin{matrix} g \circ f : X & \rightarrow & Z  \qquad \\ \qquad \quad x & \rightarrow &  g(f(x)) \end{matrix}

Se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.

\begin{matrix} X & \to & \,\,Y\;\; & \to & Z \\ x & \to & f(x) & \to & g(f(x)) \end{matrix}

A g \circ f se le llama composición de f y g. Nótese que se nombra no siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.

Ejemplo

Sean las funciones:

f(x) = x^2 \,
g(x) = sin(x) \,

La función compuesta de g y de f que expresamos:

(f \circ g)(x) = f(g(x)) = (sin(x))^2 = sin^2 (x) \,

La interpretación de (f o g) aplicada a la variable x significa que primero tenemos que aplicar g a x, con lo que obtendríamos un valor de paso

z = g(x)=sin(x) \,

y después aplicamos f a z para obtener

y = f(z) = z^2 = sin^2(x) \,
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