Plantilla:Raíces: definición y propiedades

Definición de raíz

Sabemos que $3^2 = 9\;\!$ . Esta igualdad la podemos expresar de forma similar como $\sqrt{9}=3$ y se lee 3 es igual a la raíz cuadrada de 9.

En general:

Se define la raíz cuadrada de un número $a\;\!$ como otro número $b\;\!$ tal que $b^2 =a\;\!$ , que escribimos simbólicamente: $b=\sqrt{a}$ .
Se define la raíz cúbica de un número $a\;\!$ como otro número $b\;\!$ tal que $b^3 =a\;\!$ , que escribimos simbólicamente: $b=\sqrt[3]{a}$ .
Igualmente, se define raíz n-sima $(n \in \mathbb{N},\ n>1)$ de un número $a\;\!$ como otro número $b\;\!$ tal que $b^n =a\;\!$ , que escribimos simbólicamente: $b=\sqrt[n]{a}$ .
El número $a\;\!$ se llama radicando, el número $n\;\!$ índice y $b\;\!$ es la raíz.

Ejemplos

Pulsa el botón "ejemplo" para ver más ejemplos de raíces cuadradas y cúbicas. Anótalos en tu cuaderno:

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$\sqrt[n]{1}=1$ y $\sqrt[n]{0}=0$ , para cualquier valor del índice $n\;\!$ .
Si $a>0\;\!$ , $\sqrt[n]{a}$ existe cualquiera que sea el índice $n\;\!$ .
Si $a<0\;\!$ , $\sqrt[n]{a}$ sólo existe si el índice $n\;\!$ es impar.
Si el índice $n\;\!$ es par y el radicando $a>0\;\!$ , la raíz tiene dos soluciones: una positiva y otra negativa, pero iguales en valor absoluto. Si el índice es impar, siempre tiene una única solución, que tiene el mismo signo que el radicando $a\;\!$ .

Ejemplos

$\sqrt[3]{1}=1$ .
$\sqrt[5]{0}=0$ .
$\sqrt[4]{16}=\pm 2$ porque $(\pm 2)^4=16\;\!$ .
$\sqrt[3]{64}=4$ porque $4^3=64\;\!$ .
$\sqrt[3]{-8}=-2$ porque $(-2)^3=-8\;\!$ .
$\sqrt[4]{-8}= no \ existe$ porque ningún número elevado a 4 puede dar negativo (-8).