Puntos y vectores el plano (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Sistema de referencia en el plano
2 Coordenadas del vector que une dos puntos
3 Condición para que tres puntos estén alineados
4 Punto medio de un segmento
5 Simétrico de un punto respecto de otro

Sistema de referencia en el plano

Un sistema de referencia del plano consiste en una terna $\mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}$ , donde $O\,$ es un punto fijo, llamado origen, y $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ una base de vectores del plano.

En este sistema de referencia, cada punto $P\,$ del plano tiene asociado un vector fijo $\overrightarrow{OP}$ , llamado vector de posición del punto $P\,$ .

Si el vector $\overrightarrow{OP}$ tiene coordenadas $(a,b)\,$ respecto de la base $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ , el punto $P\,$ diremos que tiene coordenadas $(a,b)\,$ respecto del sistema de referencia $\mathfrak{R}$ .

Normalmente trabajaremos con un sistema de referencia ortonormal, que es aquel en el que la base es ortonormal.

Sistema de referencia ortonormal

Actividad interactiva: Sistema de referencia en el plano

Actividad 1: En la siguiente escena tenemos un punto $P\,$ y su vector de posición $\overrightarrow{OP}$ de coordenadas $(4,3)\,$ respecto de una base ortonormal $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ .

Actividad:[Mostrar]

Coordenadas del vector que une dos puntos

Coordenadas del vector que une dos puntos

Dados dos puntos del plano de coordenadas $A(x_1,y_1)\,$ y $B(x_2,y_2)\,$ , respecto de un sistema de referencia $\mathfrak{R}$ , entonces:

$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$

Demostración:[Mostrar]

Actividad interactiva: Coordenadas del vector que une dos puntos

Actividad 1: En la siguiente escena tenemos dos puntos $A(4,8)\,$ y $B(7,2)\,$ que dan lugar al vector $\overrightarrow{AB}$ .

Actividad:[Mostrar]

Condición para que tres puntos estén alineados

Condición para que tres puntos estén alineados

Los puntos del plano $A(x_1,y_1)\,$ , $B(x_2,y_2)\,$ y $C(x_3,y_3)\,$ , están alineados si se cumple:

$\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2}$

Demostración:[Mostrar]

Actividad interactiva: Condición para que tres puntos estén alineados

Actividad 1: En la siguiente escena comprobarás si tres los puntos, $A(-7,-2)\,$ , $B(-1,0)\,$ y $C(11,4)\,$ , están alineados.

Actividad:[Mostrar]

Actividad 2: En esta escena tenemos tres puntos $P(1,4)\,$ , $Q(5,-2)\,$ y $R(m,n)\,$ . Vamos a variar $m\,$ y $n\,$ , para conseguir que los tres puntos estén alineados.