La elipse (1ºBach)

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Elementos de la elipse

Una una elipse de focos F\, y F'\,, con ejes de simetría AA'\, y BB'\,, que se cortan en el centro O\, de la elipse, determina los siguientes segmentos:

  • a=\overline{OA}=\overline{OA'} (semieje mayor).
  • b=\overline{OB}=\overline{OB'} (semieje menor).
  • c=\overline{OF}=\overline{OF'} (semidistancia focal).

ejercicio

Propiedades

  • k=2a\, (constante de la elipse)
  • a=\overline{BF}=\overline{BF'}
  • a^2=b^2+c^2\,
  • c<a\,
Demostración:
  • La constante de la elipse es k=2a\,, ya que, al ser A\, un punto de la elipse:

k=\overline{AF}+\overline{AF'}=\overline{AF}+\overline{A'F}=2a


  • Por ser B\, un punto de la elipse:

\overline{BF}+\overline{BF'}=2a \rightarrow \overline{BF}=\overline{BF'}=a


  • Por el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo BOF\,, tenemos

a^2=b^2+c^2\,


  • Por ser a\, la hipotenusa y c\, un cateto, tenemos que c<a\,.
Imagen:Elipse.png

Excentricidad de la elipse

La escentricidad de la elipse es el cociente entre la distancia focal y el eje mayor:

exc=\cfrac{c}{a}

ejercicio

Propiedades

  • 0<exc<1\,.
  • La excentricidad mide el achatamiento de la elipse: cuanto más próxima a 1 más se parece a a una circunferencia.
Demostración:
  • Como la hipotenusa del triángulo rectángulo es mayor que los catetos, tenemos que a>c \rightarrow \cfrac{c}{a}<1
y como a>0\, y c>0\,, tenemos que \cfrac{c}{a}>0
  • Cuanto más próxima a 1 sea la excentricidad, más proximos son a\, y c\, y, por tanto, más se aproxima b\, a cero.

Ecuación de la elipse

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