La hipérbola (1ºBach)
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Tabla de contenidos |
La hipérbola
Dados dos puntos y
llamados focos, y una distancia
, llamada constante de la hipérbola (
), se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos
del plano cuya diferencia de distancias a los focos es, en valor absoluto, igual a
:
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Elementos de la hipérbola
Excentricidad de la hipérbola
La excentricidad es un parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica con respecto a una circunferencia.
La excentricidad de la hipérbola es el cociente entre la distancia focal y el eje:
![e=\cfrac{c}{a}](/wikipedia/images/math/4/a/4/4a44d856123b5ccb0e0e6a4fbf23088b.png)
Propiedades
- En una hipérbola
.
- Como la hipotenusa del triángulo rectángulo es mayor que los catetos, tenemos que
Actividad interactiva: Excentricidad de la hipérbola
Actividad 1: En la siguiente escena vamos a ver como se ve afectada la hipérbola si modificamos su excentricidad.
Actividad: Ejercicios: Modifica el valor de e (deslizando el punto verde) y observa los cambios.
Pulsa el botón Actualizar para recuperar la imagen inicial. Modifica el valor de a y observa los cambios.
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Ecuaciones de la elipse
Ecuación reducida de la elipse
Ecuación reducida de la elipse
- La ecuación de una elipse con semieje mayor
y semieje menor
, con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas es:
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Sean y
los focos de la elipse. Cualquier punto P(x,y) de la misma cumple:
![d(P,F)+d(P,F')=2a\,](/wikipedia/images/math/a/2/8/a2898ff712993bfb1484da353c2e18bd.png)
Sustituyendo las distancias por su fórmula matemática:
![\sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a](/wikipedia/images/math/b/c/c/bcc3f110a682cb8172ee086b0132ae27.png)
Pasamos la segunda raíz al segundo miembro:
![\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x+c)^2+y^2}](/wikipedia/images/math/0/8/d/08dfaa042ddf94a0da7def4c0e1e4523.png)
Se elevan al cuadrado ambos miebros y se simplifica:
![x^2-2cx+c^2+y^2=4a^2+x^2+2cx+c^2+y^2-4a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}](/wikipedia/images/math/3/6/d/36d776a090f7be8c19937ddbbf086f7d.png)
![-4cx-4a^2=-4a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}](/wikipedia/images/math/1/0/5/105e3cc068185c00469f98b734eba9d7.png)
![cx+a^2=a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}](/wikipedia/images/math/d/4/5/d45202c34a5d124765cd7367197d84c4.png)
Se elevan al cuadrado los dos miembros:
![c^2x^2+a^4+2ca^2x=a^2(x^2+c^2+2cx+y^2)\,](/wikipedia/images/math/5/f/0/5f0228c277977f676f9d1db6168ec52d.png)
Reordenando y agrupando términos:
![(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2b^2\,](/wikipedia/images/math/2/a/f/2af6817f6c6c14bfa1f52c03bb5cc180.png)
Teniendo en cuenta que :
![b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2\,](/wikipedia/images/math/c/5/a/c5ad27ae63f8b71740d56c1d3b4d1dab.png)
Dividiendo la expresión por :
se obtiene la cuación buscada:
![\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1](/wikipedia/images/math/e/c/8/ec85c1613f9e876cd14942411cfef811.png)
Actividad interactiva: Ecuación reducida de la elipse
Actividad 1: En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación reducida de la elipse de semiejes 5 y 9.
Actividad: La ecuación reducida viene dada por la fórmula: ![]() Sustituyendo a=5 y b=3, tenemos: ![]() Puedes ver su gráfica en la siguente escena: Ejercicio:
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Ecuación de la elipse con los focos en el eje Y
Ecuación de la elipse con los focos en el eje Y
- La ecuación de una elipse con semieje mayor
y semieje menor
, con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de ordenadas es:
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- Su excentricidad es:
Ecuación de la elipse con el centro desplazado del origen de coordenadas
Ecuación de la elipse con el centro desplazado del origen
- La ecuación de una elipse con semiejes
y
y centro
es:
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Actividad interactiva: Ecuación reducida de la elipse
Actividad 1: En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación de la elipse de centro O(3,-1) y semiejes 5 y 2.
Actividad: La ecuación reducida viene dada por la fórmula: ![]() Sustituyendo ![]() Puedes ver su gráfica en la siguente escena: Ejercicio:
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Construcciones de la hipérbola
Actividad interactiva: Construcciones de la elipse
Actividad 1: Usando la definición de hipérbola como lugar geométrico.
Actividad: En la siguiente escena, activa la traza, desliza el punto P y observa.
Actividad 2: La hipérbola como envolvente (1).
Actividad: Desliza el punto Q y observa los cambios. Activa el trazo de la recta y vuelve a deslizar Q
Tras pulsar sobre para volver a la figura inicial, modifica la posición de F y repite lo anterior.
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