La hipérbola (1ºBach)

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Tabla de contenidos

La hipérbola

Dados dos puntos F\, y F'\, llamados focos, y una distancia k\,, llamada constante de la hipérbola (k < d(F,F')\,), se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos P\, del plano cuya diferencia de distancias a los focos es, en valor absoluto, igual a k\,:

|d(P,F)-d(P,F')|=k\,

Elementos de la hipérbola

Una una hipérbola de focos F\, y F'\,, con asíntotas r\, y r'\,, con ejes de simetría AA'\, y su perpendicular pasando por su centro O\,, determina los siguientes segmentos:

  • Semieje: a=\overline{OA}=\overline{OA'}.
  • Semidistancia focal: c=\overline{OF}=\overline{OF'} .

ejercicio

Propiedades

  • k=2a\, (constante de la hipérbola)
  • c^2=a^2+b^2 \quad (c>a)
  • Las pendientes de las asíntotas son:
\cfrac{b}{a}    y \; -\cfrac{b}{a}
Demostración:
  • La constante de la hipérbola es k=2a\,, ya que, al ser A\, un punto de la hipérbola:

k=\overline{AF'}+\overline{AF}=\overline{AF'}-\overline{A'F'}=\overline{AA'}=2a


  • Por el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo de lados a\,, b\, y c\,, tenemos

c^2=a^2+b^2\,

Por ser c\, la hipotenusa y a\, un cateto, tenemos que c>a\,.

  • La pendiente se calcula como la tangente del ángulo que forma la recta con el eje X. Para la asíntota creciente, la pendiente es:
tg \, \alpha=\cfrac{b}{a}
y para la decreciente, es igual pero con signo opuesto.

Excentricidad de la hipérbola

La excentricidad de la hipérbola es el cociente entre la distancia focal y el eje:

e=\cfrac{c}{a}

ejercicio

Propiedades

En una hipérbola e>1\,.
Demostración:
Como la hipotenusa del triángulo rectángulo es mayor que los catetos, tenemos que c>a \rightarrow \cfrac{c}{a}>1

ejercicio

Actividad interactiva: Excentricidad de la hipérbola

Actividad 1: En la siguiente escena vamos a ver como se ve afectada la hipérbola si modificamos su excentricidad.
Actividad:
Click aquí si no se ve bien la escena

Ejercicios: Modifica el valor de e (deslizando el punto verde) y observa los cambios.

  • ¿Entre qué valores puede variar la excentricidad de una hipérbola?
  • ¿Cómo son las hipérbola de excentricidad grande? ¿y las de poca excentricidad (próxima a 1)?
  • Intenta visualizar una hipérbola equilátera (asíntotas perpendiculares). ¿Cuál es su excentricidad? ¿Sabrías demostrarlo?

Pulsa el botón Actualizar para recuperar la imagen inicial. Modifica el valor de a y observa los cambios.

  • ¿Qué tienen en común todas las hipérbolas con la misma excentricidad?

Ecuaciones de la hipérbola

Ecuación reducida de la hipérbola

ejercicio

Ecuación reducida de la hipérbola

La ecuación de una hipérbola con semieje a\,, con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas es:

\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1

Demostración:

Sean F(c,0)\, y F'(-c,0)\, los focos de la elipse. Cualquier punto P(x,y) de la misma cumple:

|d(P,F)-d(P,F')|=2a\,

Sustituyendo las distancias por su fórmula matemática, y contemplando la posibilidad del doble signo que surge de suprimir el valor absoluto:

\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}=\pm 2a

Pasamos la segunda raíz al segundo miembro:

\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\pm 2a+\sqrt{(x+c)^2+y^2}

Se elevan al cuadrado ambos miebros y se simplifica:

x^2-2cx+c^2+y^2=4a^2+x^2+2cx+c^2+y^2 \pm 4a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}

-4cx-4a^2=\pm 4a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}

cx+a^2=\pm a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}

Se elevan al cuadrado los dos miembros:

c^2x^2+a^4+2ca^2x=a^2(x^2+c^2+2cx+y^2)\,

Reordenando y agrupando términos:

(c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)\,

Teniendo en cuenta que c^2-a^2=b^2\,:

b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2\,

Dividiendo la expresión por a^2b^2\,:

se obtiene la cuación buscada:

\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1

ejercicio

Actividad interactiva: Ecuación reducida de la hipérbola

Actividad 1: En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación reducida de la hipérbola con semieje 4 y semidistancia focal 5.
Actividad:
La ecuación reducida viene dada por la fórmula:

\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1

Sustituyendo a=4\, y b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{5^2+4^2}=3, tenemos:

\cfrac{x^2}{16}-\cfrac{y^2}{9}=1

Puedes ver su gráfica en la siguente escena:

Click aquí si no se ve bien la escena

Ejercicio:

  1. Halla la ecuación reducida de la elipse cuyo eje mide 16 y su distancia focal 10. Comprueba los resulatados en la escena.

Ecuación de la hipérbola con los focos en el eje Y

ejercicio

Ecuación de la hipérbola con los focos en el eje Y

La ecuación de una hipérbola con semieje a\,, con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de ordenadas es:

\cfrac{y^2}{a^2}-\cfrac{x^2}{b^2}=1

Ecuación de la hipérbola con el centro desplazado del origen de coordenadas

ejercicio

Ecuación de la hipérbola con el centro desplazado del origen

La ecuación de una elipse con semieje a\, y centro O(\alpha,\beta)\, es:
  • Si el eje FF' es paralelo al eje X:

\cfrac{(x-\alpha)^2}{a^2}-\cfrac{(y-\beta)^2}{b^2}=1

  • Si el eje FF' es perpendicular al eje X:

\cfrac{(y-\beta)^2}{b^2}-\cfrac{(x-\alpha)^2}{a^2}=1

ejercicio

Actividad interactiva: Ecuación de la hipérbola con el centro desplazado del origen de coordenadas

Actividad 1: En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación de la hipérbola de centro O(-3,1), semieje a=3 y semidistancia focal c=5.
Actividad:
La ecuación viene dada por la fórmula:

\cfrac{(x-\alpha)^2}{a^2}-\cfrac{(y-\beta)^2}{b^2}=1


Sustituyendo: a=3 \, , \quad b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\, , \quad \alpha=-3\, , \quad \beta=1\,, tenemos:


\cfrac{(x+3)^2}{9}-\cfrac{(y-1)^2}{16}=1

Puedes ver su gráfica en la siguente escena:

Click aquí si no se ve bien la escena

Ejercicio:

  1. Usando la escena anterior, intenta representar las siguientes elipses y averigua sus parámetros.

a) \cfrac{(x-4)^2}{25}+\cfrac{(y+1)^2}{4}=1
b) 4x^2-y^2=4\,
Actividad 2 En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación de la hipérbola con eje focal vertical de centro O(3,-1), a=2 y b=3.
Actividad:
La ecuación viene dada por la fórmula:

\cfrac{(y-\beta)^2}{b^2}-\cfrac{(x-\alpha)^2}{a^2}=1


Sustituyendo: a=2 \, , \quad b=3\, , \quad \alpha=3\, , \quad \beta=-1\,, tenemos:


\cfrac{(y+1)^2}{9}-\cfrac{(x-3)^2}{4}=1

Puedes ver su gráfica en la siguente escena:

Click aquí si no se ve bien la escena

Ejercicio:

  1. Usando la escena anterior, intenta representar las siguientes elipses y averigua sus parámetros.

a) \cfrac{(y-1)^2}{4}+\cfrac{(x-2)^2}{16}=1
b) y^2-x^2=1\,

Construcciones de la hipérbola

ejercicio

Actividad interactiva: Construcciones de la hipérbola

Actividad 1: Usando la definición de hipérbola como lugar geométrico.
Actividad:
En la siguiente escena, activa la traza, desliza el punto P y observa.
  • ¿Qué tipo de curva describe la traza de P en su movimiento?
  • ¿Qué representan los segmentos verde y morado?
  • ¿Qué propiedad cumplen todos los puntos por los que pasa P?
  • Desliza ahora el punto P'
Click aquí si no se ve bien la escena
Actividad 2: La hipérbola como envolvente.
Actividad:
Click aquí si no se ve bien la escena

Desliza el punto Q y observa los cambios.

Activa el trazo de la recta y vuelve a deslizar Q

  • Aparece una hipérbola como la envolvente ¿de qué familia de rectas?

Tras pulsar sobre para volver a la figura inicial, modifica la posición de F y repite lo anterior.

  • ¿De qué modo influye la posición relativa de F en la forma de la cónica generada?

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/La_hip%C3%A9rbola_%281%C2%BABach%29"
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