La parábola (1ºBach)

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Tabla de contenidos

La parábola

Dados un punto F\, llamado foco, y una recta d\,, llamada directriz, se llama parábola al lugar geométrico de los puntos P\, del plano que equidistán del foco y de la directriz:

d(P,F)=d(P,d)\,

Elementos de la parábola:

Una parábola de foco F\, y directriz d\,, determina los siguientes elementos:

  • Vértice: O\,.
  • Distancia del foco a la directriz: p=d(d,F)\,.
Imagen:Parabola.png

ejercicio

Actividad interactiva: Propiedades de la parábola

Actividad 1: En la siguiente escena vamos a ver una propiedad de la parábola en la que veremos como cualquier "rayo" perpendicular a la directriz que impacte en la curva se refleja y va a parar a su foco.
Actividad:
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Ejercicio:

Desliza el punto verde hacia la derecha y observa:

  • Describe lo que ves.
  • ¿Encuentra alguna relación con el funcionamiento de las antenas parabólicas?
  • ¿Conoces algún otro ejemplo práctico donde se aproveche esta propiedad de la parábola?
Actividad 2: Tiro parabólico
Actividad:
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Ejercicio:

En la figura se puede observar la trayectoria de un proyectil (cuya velocidad de salida es constante). Prueba a modificar el ángulo de inclinación inicial.

  • ¿Para qué inclinación se obtiene el alcance máximo?

Activa el trazo de para comprobar la zona de alcance de los proyectiles.

  • ¿Qué tipo de curva limita esa zona "de seguridad"?

Excentricidad de la parábola

La excentricidad de la parábola es el cociente entre c=d(F,O)\, y a=d(O,d)\,. En consecuencia, la excentricidad de la parábola es siempre igual a 1.

e=\cfrac{c}{a}=1

Ecuación reducida de la parábola

ejercicio

Ecuación reducida de la parábola

La ecuación de una parábola con foco en el eje de abscisas, directriz paralela al eje de ordenadas y vértice en el origen de coordenadas, es:

y^2=2px\,

Demostración:

Recordemos que p=d(F,d)\,. Por tanto, las coordenadas del foco y la ecuación de la directiz son:

F \Big( \cfrac{p}{2},0 \Big) \qquad d: \; x=-\cfrac{p}{2}

Como cualquier punto P(x,y)\, de la parábola cumple que:

d(P,F)=d(P,d)\,

Sustituyendo las distancias por su fórmula matemática, tenemos:

\sqrt{\Big( x-\cfrac{p}{2}}\Big)^2+y^2=x+\cfrac{p}{2}

Elevando ambos miembros al cuadrado:

x^2-\cfrac{p^2}{4}-px+y^2=x+\cfrac{p^2}{4}+px

Y simplificando:

y^2=2px\,

ejercicio

Actividad interactiva: Ecuación reducida de la parábola

Actividad 1: En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación reducida de la parábola con distancia del foco a la directriz p=2\,.
Actividad:
La ecuación reducida viene dada por la fórmula:

y^2=2px\,

Sustituyendo p=2\,, tenemos:

y^2=4x\,

Puedes ver su gráfica en la siguente escena:

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Ejercicio:

  1. Halla la ecuación reducida de la parábola con p=3. Comprueba los resulatados en la escena.

Construcciones de la parábola

ejercicio

Actividad interactiva: Construcciones de la parábola

Actividad 1: Método basado en su definición como lugar geométrico.
Actividad:
Activa la traza, desliza el punto P y observa.
  1. ¿Qué tipo de curva describe la traza de P en su movimiento?
  2. ¿Qué se puede decir de los segmentos PF y PD?
  3. ¿Qué propiedad cumplen todos los puntos por los que pasa P?


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Actividad 2: La parábola como envolvente.
Actividad:
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Desliza el punto P y observa.

Activa el trazo de la perpendicular a PF por P y vuelve a deslizar el punto P

  • ¿Cuál es la envolvente de la familia de esas rectas?, es decir, ¿cuál es la curva tangente a esa familia de rectas?

Tras pulsar sobre para volver a la figura inicial, modifica la posición de F o de la recta directriz y repite lo anterior.

  • ¿De qué modo influye la posición de F y dir en la forma y posición de la parábola generada?
Actividad 3: La parábola generada por el centro de una circunferencia.
Actividad:
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Desliza el punto P y observa.

  • ¿Cómo viene determinada la posición de la circunferencia en cada momento?
  • ¿Qué se podrá decir de las distancias de su centro a la recta dir y F respectivamente?

Activa el trazo del centro de la circunferencia y vuelve a deslizar el punto P.

  • Define la parábola como lugar geométrico en base alo observado.
Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/La_par%C3%A1bola_%281%C2%BABach%29"
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