Plantilla:Funciones logarítmicas (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Función logarítmica de base a
- 1.1 Propiedades
2 El modelo logarítmico
3 Calculadora
- 3.1 Logartitmo decimal
- 3.2 Logartitmo neperiano

Función logarítmica de base a

Sea $a>0 \ , (a \ne 1)$ un número real. Se define la función logarítmica de base $a\;$ como:

$\begin{matrix} f \colon \mathbb{R}{}_*^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \quad \\ \, \quad x & \rightarrow & log_a \, x \end{matrix}$

La función logarítmica de base el número e = 2,7182... es de especial importancia en matemáticas. Se denomina función logaritmo neperiano y se designa por $ln \, x$ . La función logarítmica de base 10 también es de particular interés. Se denomina función logaritmo decimal y se designa por $log \, x$ (sin especificar la base).

En la representación gráfica de la derecha puedes ver funciones logarítmicas en varias bases:

En rojo representa el logaritmo en base e,
En verde corresponde a la base 10,
En púrpura al de la base 1,7.

Los logaritmos de todas las bases pasan por el punto (1, 0), esto es debido a que cualquier número elevado a la cero es igual a uno, y también los puntos (a, 1) para la base a, debido a que cualquier número elevado a la unidad es igual a sí mismo.

Propiedades

Propiedades de la función logarítmica

Las funciones exponenciales de base $a\;$ cumplen las siguientes propiedades:

Son continuas en $\mathbb{R}{}_*^+$ .
Pasan por $(1,0)\;$ y $(a,1)\;$ .
Si $a>1\;$ son crecientes y si $0<a<1\;$ son decrecientes. Su crecimiento es menor que el de las funciones raíz de cualquier índice $\sqrt[n]{x}$ .
La función logaritmica y la exponencial de la misma base son funciones inversas y por tanto sus gráficas son simétricas respecto de la recta $y=x\;$ .

Actividad Interactiva: Propiedades de la función exponencial

Actividad 1. Comprueba las propiedades de las funciones exponenciales en la siguiente escena.

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

Comprueba en la escena anterior las siguientes propiedades:

Todas pasan por los punto $(0,1)\;$ y $(a,0)\;$ , donde $a\;$ es la base.
Si la base $a>1\;$ , son crecientes y si $0<a<1\;$ decrecientes.
Son siempre positivas y nunca se anulan (su gráfica está por encima del eje X).
Observa como varía la gráfica al aumentar o disminuir el valor de la base.

Contesta:

¿Cuál es el dominio de estas funciones? o, lo que es lo mismo, ¿qué valores puede tomar la primera coordenada del punto azul?
¿Cuál es la imagen de estas funciones? o, lo que es lo mismo, ¿qué valores puede tomar la segunda coordenada del punto azul?
¿Cuál es el punto de corte de la gráfica con los ejes?

Actividad Interactiva: Función logarítmica

Actividad 1. Representación gráfica de distintas funciones logarítimicas y comparación con la función exponencial con la misma base.

Actividad:

En esta escena tienes las gráfica de las funciones:

a) $y = log_2 \, x\;$ (en amarillo); b) $y = a^x \;$ (en verde)

Click aquí si no se ve bien la escena

Cambia con los controles el valor de $a\;$ (no olvides pulsar "Intro") y comprueba en la escena anterior que las funciones logarítmicas cumplen las siguientes propiedades:

Todas pasan por los punto $(1,0)\;$ y $(a,1)\;$ , donde $a\;$ es la base.
Si la base $a>1\;$ , son crecientes y si $0<a<1\;$ decrecientes.
Observa como varía la gráfica al aumentar o disminuir el valor de la base.
Las gráficas son simétricas respecto de la recta $y = x$ (en rojo).

El modelo logarítmico

Ejemplo: Modelo logarítmico

Los científicos modelan la respuesta humana a estímulos (como sonido, luz o presión) por medio de funciones logarítmicas. El psicólogo Gustav Fechner formuló la ley como

$k \, log \left( \frac{I}{I_0} \right)$

donde $S\;$ es la intensidad subjetiva del estímulo, $I\;$ la intensida física del estímulo, $I_0\;$ la intensidad física umbral y $k\;$ es una constante que difiere en cada estímulo sensorial.

Por ejemplo, la percepción de la sonoridad $B\;$ , en decibelios (dB), de un sonido con intensidad física $I\;$ en $W / m 2$ está dada por

$B= 10 \, log \left( \frac{I}{I_0} \right)$

donde $I_0\;$ la intensidad física de un sonido apenas audible (umbral). Encuentra el nivel de sonoridad (en dB) de un sonido cuya intensidad física $I\;$ es 100 veces la de $I_0\;$ .

Solución:

Partimos del hecho de que $I= 100 \, I_0$ , entonces, sustituyendo en la fórmula de la percepción sonora, tendremos: