Ampliación del concepto de ángulo (1ºBach)

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(Pág. 108)

Ángulos coterminales

Dos ángulos $\alpha \;$ y $\beta\;$ son coterminales ( $\alpha \equiv \beta$ ), si se diferencian en un número entero de vueltas a la circunferencia goniométrica. Es decir,

$\alpha \equiv \beta \iff \exist n \in \mathbb{Z} \ / \ \beta = \alpha + n \cdot 360^\circ$ .

Los ángulos coterminales, al tener la misma posición dentro de la circunferencia goniométrica, van a tener las mismas razones trigonométricas.

Ejemplo

Los ángulos 30º, 390º (30º+360º) y 750º (30º+2·360º) son coterminales.

Si un ángulo $\alpha\;$ tiene medida superior a 360º, del único ángulo $\beta\;$ con medida inferior a 360º coterminal con $\alpha\;$ , decimos que es la reducción al primer giro de $\alpha\;$ .

Ejemplo

3000º es coterminal con 120º porque la división 3000:360 da 120 de resto. Entonces 120º es la recucción al primer giro de 3000º.

Reducción de un ángulo al primer giro (7´03") Sinopsis:

Si un ángulo orientado "A" tiene medida superior a 360º, del único ángulo "B" con medida inferior a 360º coterminal con "A", decimos que es la reducción al primer giro de "A".
Ejemplos.

Ángulos negativos

Los ángulos positivos son aquellos que siguen el sentido contrario de las agujas del reloj en la circunferencia goniométrica. Los ángulos negativos, por el contrario, siguen el sentido de las agujas del reloj.

Proposición

Dado un ángulo negativo, existe un ángulo positivo coterminal con él. En consecuencia, las razones trigonométricas de ángulos negativos, las podemos estudiar sobre ángulos positivos coterminales con él.

Demostración:

Es inmediato, dado un ángulo negativo, basta sumarle 360º un número suficiente de veces, para obtener un ángulo positivo coterminal con él.

Como los ángulos coterminales ocupan la misma posición en la circunferencia goniométrica, sus razones trigonométricas serán las mismas.

Ejemplo

El ángulo -60º tiene por coterminal al ángulo 300º (-60º+360º). Por tanto, las razones trigonométricas de -60º y 300º son las mismas.

Angulo orientado (9´16") Sinopsis:

Un ángulo se dice "orientado" si uno de sus lados se bautiza "lado origen" y el otro lado se bautiza "lado extremo". Si para hacer coincidir el lado origen con el lado extremo se gira alrededor del vértice en sentido contrario a las agujas del reloj, el ángulo se dice "positivo" o "levógiro", diciéndose "negativo" o "dextrógiro" si se gira en el sentido a las agujas del reloj.