Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Angulos orientados
2 Circunferencia goniométrica
3 Razones trigonométricas de un ángulo comprendido entre 0º y 360º
- 3.1 Signo de las razones trigonométricas
4 Relaciones fundamentales de la trigonometría (ángulos de cualquier cuadrante)
5 Ejercicios propuestos

(Pág. 107)

Angulos orientados

Un ángulo orientado es aquel que, en un sistema de coordenadas cartesianas, está generado por el giro de una semirecta que parte del semieje positivo de las X. (Fig. 1)

El ángulo es positivo cuando está generado en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo cuando está generado en sentido horario.
La rotación de la semirrecta puede ser mayor que un giro..

Angulo orientado (9´16") Sinopsis:

Un ángulo se dice "orientado" si uno de sus lados se bautiza "lado origen" y el otro lado se bautiza "lado extremo". Si para hacer coincidir el lado origen con el lado extremo se gira alrededor del vértice en sentido contrario a las agujas del reloj, el ángulo se dice "positivo" o "levógiro", diciéndose "negativo" o "dextrógiro" si se gira en el sentido a las agujas del reloj.

Fig. 1: Angulo orientado

Circunferencia goniométrica

Consideremos una circunferencia de radio 1 centrada en un sistema de referencia cartesiano, es decir, con su centro en el origen de coordenadas O. A esta circunferencia la llamaremos circunferencia goniométrica.

Sobre la circunferencia goniométrica situaremos nuestro ángulo orientado, $\alpha \;$ . Este genera un triángulo rectángulo ABC, tal y como se muestra en la Fig. 2. En él, el vértice A coincide con el origen O, el cateto contiguo al ángulo $\alpha \;$ se situa en el eje X positivo y la hipotenusa coincide con el radio.

Teniendo en cuenta que $\overline{AB} = \overline{OE}= radio = 1$ , las razones trigonométricas del águlo $\alpha \;$ se expresan de la siguiente manera:

$sen \, \alpha = \cfrac{\overline{CB}}{\overline{AB}}=\overline{CB}$

$cos \, \alpha = \cfrac{\overline{OC}}{\overline{AB}}=\overline{OC}$

$tg \, \alpha = \cfrac{\overline{DE}}{\overline{OE}}=\overline{DE}$

Fig. 2: Circunferencia goniométrica: De color rojo, el seno; de color verde, el coseno; de color rosa, la tangente

El círculo goniométrico (9´14) Sinopsis:

Empleando un circulo de radio unidad pueden "visualizarse" las razones trigonométricas de un ángulo orientado.

Razones trigonométricas de un ángulo comprendido entre 0º y 360º

Obsérvese como las coordenadas del punto B, del apartado anterior, son $(cos \, \alpha , sen \, \alpha )$ . Así podemos dar la siguiente definición del seno y del coseno de un ángulo de cualquier cuadrante:

Dado un ángulo $\alpha \,$ , se define el coseno y el seno de dicho ángulo, como las coordenadas del punto de corte, B, del lado terminal del ángulo con la circunferencia goniométrica:

$B=(cos \, \alpha , sen \, \alpha )$

Definiremos la tangente del ángulo, como:

$tg \, \alpha = \cfrac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}$ , $\alpha \ne 90^\circ \, , 180^\circ$

Signo de las razones trigonométricas

Los ejes cartesianos dividen a la circunferencia goniométrica en cuatro regiones denominadas cuadrantes:

Un ángulo $\alpha\;$ , pertenece al primer cuadrante si $0^\circ< \alpha <90^\circ$

Un ángulo $\alpha\;$ , pertenece al segundo cuadrante si $90^\circ< \alpha <180^\circ$

Un ángulo $\alpha\;$ , pertenece al tercer cuadrante si $180^\circ< \alpha <270^\circ$

Un ángulo $\alpha\;$ , pertenece al cuarto cuadrante si $270^\circ< \alpha <360^\circ$

Según en qué cuadrante estemos, el segmento OC que determina al coseno, puede estar situado a la derecha o a la izquierda del origen O. Así, asignaremos signo positivo al coseno si está a la derecha de O y negativo si está a la izquierda.

Analogamente, el segmento CB que determina al seno, puede estar situado por encima o por debajo del eje X . Asignaremos signo positivo al seno si está por encima y negativo si está por debajo.

Los siguientes gráficos muestran los distintos casos según en qué cuadrante se encuentre el ángulo:

Cuadrante I
( seno + / cos + )

Cuadrante II
( seno + / cos - )

Cuadrante III
( seno - / cos - )

Cuadrante IV
( seno - / cos + )

Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera Descripción:

En esta escena podrás ver como se representan las razones trigonométricas de un ángulo de cualquier cuadrante.

Valores y signo de razones trigonométricas de un ángulo cualquiera Descripción:

En esta escena podrás ver los valores y el signo de las 6 razones trigonométricas de un ángulo de cualquier cuadrante.

Razones trigonométricas de ángulos orientados (11´) Sinopsis:

Si el lado origen de un ángulo orientado es el semieje OX, del cuadrante en que está el lado extremo se dice "cuadrante del ángulo". En este video definimos las razones trigonométricas de un ángulo orientado, y para ello empleamos las coordenadas de un punto cualquiera (a;b) del lado extremo.

3 ejercicios (5´53") Sinopsis:

3 ejercicios sobre razones trigonométricas de ángulos orientados.

Determinación del ángulo conocida una de sus razones trigonométricas (7´38") Sinopsis:

Si -1 < a < 1, en el primer giro hay dos ángulos cuyo seno es "a". Si -1 < b < 1, en el primer giro hay dos ángulos cuyo coseno es "b". Si "c" es un número real, en el primer giro hay dos ángulos cuyo tangente es "c".

2 ejercicios (5´48") Sinopsis:

En este vídeo empleamos la calculadora científica para determinar los dos ángulos del primer giro cuyo seno es 0.3 y los dos ángulos del primer giro cuyo seno es -0.4.

Relaciones fundamentales de la trigonometría (ángulos de cualquier cuadrante)

Las relaciones fundamentales de la trigonometría, ya estudiadas anteriormente, siguen siendo válidas con las definiciones dadas para ángulos de cualquier cuadrante.

Relaciones fundamentales de la trigonometría Descripción:

Practica con las relaciones fundamentales de la trigonometría y ponte a prueba con una autoevaluación. En estas actividades tendrás que tener en cuenta en qué cuadrante está el ángulo para determinar el signo de la razón trigonométrica.

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