Números complejos: Forma polar (1ºBach)

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Tabla de contenidos

Forma polar de un número complejo

Dado un número complejo z=a+bi\,

  • El módulo de z\, es la longitud del vector que lo representa, es decir, la distancia entre el afijo (a,b)\, y el origen (0,0)\,). Se designa por r=|z|\,.
  • El argumento de z\, (z \ne 0), es el ángulo que forma el vector con el eje X . Se designa por \phi=arg(z)\,. (Si z=0\,, su argumento es 0).

La forma polar del número complejo z\,, se designa r_\phi \,, siendo r=|z|\, y \phi=arg(z)\,.

Fig. 1: Un número complejo queda determinado por su módulo y su argumento.
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Fig. 1: Un número complejo queda determinado por su módulo y su argumento.

Paso de forma binómica a polar

ejercicio

Proposición

Dado un número complejo z=a+bi\, su forma polar r_\phi \, se obtiene de la siguiente manera:

  • r = |z| = \sqrt{a^2+b^2}\quad     
  • \phi=arctg \, \cfrac{b}{a}
Demostración:

  • Para la segunda, basta tener en cuenta que tg \, \phi =\cfrac{b}{a}.
Imagen:complejopolar2.png

ejercicio

Ejemplo: Paso de forma binómica a polar

Pasa a forma polar el número complejo z=2+2i\,
Solución:
Calculamos el módulo:
r = |z| = \sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}
Calculamos el argumento:
\phi=arctg \, \cfrac{2}{2}=45^\circ
Por tanto, su forma polar es:
z=\sqrt{8}_{45^\circ}

ejercicio

Actividad interactiva: Paso de forma binómica a polar

Pasa los siguientes números complejos a forma polar y comprueba tus resultados en la escena:
a)1+2i\,     b)-2+3i\,     c) -3-i\,      d)5-4i\,

Actividad:
En esta escena puedes pasar un complejo de forma binómica a polar. Puedes variar los valores de a y b o mover el afijo con el ratón.
Click aquí si no se ve bien la escena

Paso de forma polar a binómica

Dado un número complejo r_\phi \,, su forma binómica a+bi\, se obtiene de la siguiente manera:

  • a=r \cdot cos \, \phi
  • b=r \cdot sen \, \phi

ejercicio

Ejemplo: Paso de forma polar a binómica

Pasa a forma binómica el número complejo z=2_{30^\circ}
Solución:
Calculamos la parte real:
a=2 \cdot cos \, 30^\circ=2 \, \cfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}
Calculamos su parte imaginaria:
b=2 \cdot sen \, 30^\circ=2 \, \cfrac{1}{2}=1
Por tanto, su forma binómica es:
z=\sqrt{3}+i

ejercicio

Actividad interactiva: Paso de forma polar a binómica

Pasa los siguientes números complejos a forma binómica y comprueba tus resultados en esta escena:
a)1_{225^\circ}     b)4_{0^\circ}      c) 3_{270^\circ}     d)2_{295^\circ}     e)8_{90^\circ}     f)2_{120^\circ}

Actividad:
En esta escena puedes pasar un complejo de forma polar a binómica. Puedes variar los valores del módulo y del argumento.
Click aquí si no se ve bien la escena

Forma trigonométrica de un número complejo

Según lo visto en el apartado anterior:

z=a+bi= r \cdot cos \, \phi + r \cdot sen \, \phi \cdot i=r \, (cos \, \phi + i \, sen \, \phi)

Se llama forma trigonométrica de un número complejo, a la expresión

z=r \, (cos \, \phi + i \, sen \, \phi)

ejercicio

Ejemplo: Forma trigonométrica de un complejo

Pasa a forma trigonométrica el número complejo z=2_{60^\circ}
Solución:
Tan sólo hay que aplicar la fórmula:
z=r \, (cos \, \phi + i \, sen \, \phi)=2 \, (cos \, 60^\circ + i \, sen \, 60^\circ)

Formas polar y trigonométrica de un número complejo (11´22")     Sinopsis:

Videotutorial.

ejercicio

Ejercicios:Formas polar y trigonométrica de un número complejo

4 ejercicios (10´34")     Sinopsis:

Videotutorial.

4 ejercicios (7´)     Sinopsis:

Videotutorial.

9 ejercicios (10´37")     Sinopsis:

Videotutorial.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_complejos:_Forma_polar_%281%C2%BABach%29"
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