Números complejos: Forma polar (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Forma polar de un número complejo
2 Paso de forma binómica a polar
3 Paso de forma polar a binómica
4 Forma trigonométrica de un número complejo
5 Familias de complejos en forma polar
6 Ejercicios propuestos

(Pág. 152)

Forma polar de un número complejo

Dado un número complejo $z=a+bi\,$

El módulo de $z\,$ es la longitud del vector que lo representa, es decir, la distancia entre el afijo $(a,b)\,$ y el origen $(0,0)\,)$ . Se designa por $r=|z|\,$ .
El argumento de $z\,$ ( $z \ne 0$ ), es el ángulo que forma el vector con el eje X . Se designa por $\phi=arg(z)\,$ . De los infinitos argumentos de un número complejo, al comprendido entre 0º y 360º se le llama argumento principal.

La forma polar del número complejo $z \, (z \ne 0)$ , se designa $r_\phi \,$ , siendo $r=|z|\,$ y $\phi=arg(z)\,$ .

(El cero, al no tener argumento, no se puede poner en forma polar)

Propiedades

Si $z= r_\phi\;$ , entonces:

Su opuesto es $-z=r_{\phi + 180^\circ}$
Su conjugado es $\bar z = r_{-\phi}$

Fig. 1: Un número complejo queda determinado por su módulo y su argumento.

Forma polar de números complejos Descripción:

En esta escena podrás ver como se representan los números complejos en forma polar. Mueve el deslizador para ver algunos ejemplos y completa los que faltan en tu cuaderno.

Paso de forma binómica a polar

Procedimiento

Dado un número complejo $z=a+bi\,$ su forma polar $r_\phi \,$ se obtiene de la siguiente manera:

$r = |z| = \sqrt{a^2+b^2}\quad$

$\phi=arctg \, \cfrac{b}{a}$

Demostración:

Para la primera igualdad basta aplicar el teorema de Pitágoras.

Para la segunda, basta tener en cuenta que $tg \, \phi =\cfrac{b}{a}$ .

Ejemplo: Paso de forma binómica a polar

Pasa a forma polar:

a) $z=2+2i\,$

b) $z=-i\,$

c) $z=-3\,$

Solución:

a) $z=2+2i\,$

Calculamos el módulo:

$r = |z| = \sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}$

Calculamos el argumento:

$\phi=arctg \, \cfrac{2}{2}=45^\circ$

Solución: $z=(\sqrt{8})_{45^\circ}$

b) $z=-i\,$

Solución: $z=1_{270^\circ}$

c) $z=-3\,$

Solución: $z=3_{180^\circ}$

Actividad: Paso de forma binómica a polar Descripción:

Pasa los siguientes números complejos a forma polar y comprueba tus resultados en la escena:

a) $1+2i\,$ b) $-2+3i\,$ c) $-3-i\,$ d) $5-4i\,$

En esta escena puedes pasar un complejo de forma binómica a polar. Puedes variar los valores de a y b o mover el afijo con el ratón.

Paso de forma binómica a polar

Actividad: Paso de forma binómica a polar

a) Pasa $1-i\;$ a forma polar.

b) Halla el argumento de $1-i\;$ .

b) Halla el módulo de $1-i\;$ .

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) convert 1-i to polar form

b) arg (1-i) in degrees o arg (1-i)

c) $| 1 - i |$

(Pág. 153)

Paso de forma polar a binómica

Procedimiento

Dado un número complejo $r_\phi \,$ , su forma binómica $a+bi\,$ se obtiene de la siguiente manera:

$a=r \cdot cos \, \phi$
$b=r \cdot sen \, \phi$

Ejemplo: Paso de forma polar a binómica

Pasa a forma binómica el número complejo $z=2_{30^\circ}$

Solución:

Calculamos la parte real:

$a=2 \cdot cos \, 30^\circ=2 \, \cfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

Calculamos su parte imaginaria:

$b=2 \cdot sen \, 30^\circ=2 \, \cfrac{1}{2}=1$

Solución: $z=\sqrt{3}+i$

Actividad: Paso de forma polar a binómica Descripción:

Pasa los siguientes números complejos a forma binómica y comprueba tus resultados en esta escena:

a) $1_{225^\circ}$ b) $4_{0^\circ}$ c) $3_{270^\circ}$ d) $2_{295^\circ}$ e) $8_{90^\circ}$ f) $2_{120^\circ}$

En esta escena puedes pasar un complejo de forma polar a binómica. Puedes variar los valores del módulo y del argumento.

Forma trigonométrica de un número complejo

Según lo visto en el apartado anterior:

$z=a+bi= r \cdot cos \, \phi + r \cdot sen \, \phi \cdot i=r \, (cos \, \phi + i \, sen \, \phi)$

Se llama forma trigonométrica de un número complejo, a la expresión

$z=r \, (cos \, \phi + i \, sen \, \phi)$

Ejemplo: Forma trigonométrica de un complejo

Pasa a forma trigonométrica el número complejo $z=2_{60^\circ}$

Solución:

Tan sólo hay que aplicar la fórmula:

$z=r \, (cos \, \phi + i \, sen \, \phi)=2 \, (cos \, 60^\circ + i \, sen \, 60^\circ)$

Formas polar y trigonométrica de un número complejo (11´22") Sinopsis:

Videotutorial.

4 ejercicios (10´34") Sinopsis:

Videotutorial.

4 ejercicios (7´) Sinopsis:

Videotutorial.

9 ejercicios (10´37") Sinopsis:

Videotutorial.

Familias de complejos en forma polar

Ejercicio resuelto: Familias de complejos en forma polar

Representa los siguientes conjuntos de números complejos:

a) $|z|=3\;$

b) $|z|<3\;$

c) $1 \le |z| \le 3$

d) $Arg(z)=30^\circ$

Solución:

Como $|z|=\sqrt{x^2+y^2}=r \rightarrow x^2+y^2=r^2$ , los tres primeros apartados se resuelven de la siguiente manera:

a) Representando la curva $x^2+y^2=9\;$ se obtiene una circunferncia de centro O y radio 3.

b) Representando la curva $x^2+y^2<9\;$ se obtiene un círculo de centro O y radio 3sin la circunferencia del borde.

c) Representando la curva $1 \le x^2+y^2 \le 9$ se obtiene una corona circular de radios 1 y 3 y centro O, incluidas las circunferencias de los bordes.

Como $tg \, \theta = \cfrac{y}{x} \rightarrow y= tg \, \theta \cdot x$ :

d) Representando la recta $y= tg \, \theta \cdot x$ con $x>0\;$ se obtiene una semirrecta abierta de origen O que forma un ángulo de 30º con el eje X.