Puntos y vectores el plano (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Sistema de referencia en el plano
2 Coordenadas del vector que une dos puntos
3 Vectores equipolentes
4 Condición para que tres puntos estén alineados
5 Punto medio de un segmento
6 Simétrico de un punto respecto de otro
7 Traslaciones y homotecias
8 Operaciones con vectores

Sistema de referencia en el plano

Un sistema de referencia del plano consiste en una terna $\mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}$ , donde $O\,$ es un punto fijo, llamado origen, y $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ una base de vectores del plano.

En este sistema de referencia, cada punto $P\,$ del plano tiene asociado un vector fijo $\overrightarrow{OP}$ , llamado vector de posición del punto $P\,$ .

Si el vector $\overrightarrow{OP}$ tiene coordenadas $(a,b)\,$ respecto de la base $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ , el punto $P\,$ diremos que tiene coordenadas $(a,b)\,$ respecto del sistema de referencia $\mathfrak{R}$ .

Normalmente trabajaremos con un sistema de referencia ortonormal, que es aquel en el que la base es ortonormal.

Sistema de referencia ortonormal

Vector de posición y coordenadas de un punto del plano Descripción:

En esta escena podrás ver como se obtienen las coordenadas de un punto respecto de un sistema de referencia del plano a partir de su vector de posición.

Coordenadas del vector que une dos puntos

Coordenadas del vector que une dos puntos

Dados dos puntos del plano de coordenadas $A(x_1,y_1)\,$ y $B(x_2,y_2)\,$ , respecto de un sistema de referencia $\mathfrak{R}$ , entonces:

$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$

Demostración:

Partimos de que

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB} \quad \rightarrow \quad \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$

Por tanto,

$\overrightarrow{AB}=(x_2,y_2)-(x_1,y_1)=(x_2-y_2,x_1-y_1)$

Vector fijo asociado a un par ordenado de puntos del plano (15´47") Sinopsis:

Siendo $P = (x 0, y 0)$ y $Q = (x 1, y 1)$ puntos del plano, en este vídeo definimos el concepto de "vector fijo" asociado al par ordenado (P,Q). Visualizamos dicho vector fijo mediante una "flecha" que tiene origen en "P" y extremo en "Q". El vector fijo asociado al par (Q,P) se dice "opuesto" del asociado al par (P,Q). En términos matemáticos, el vector fijo asociado al par ordenado (P,Q) queda identificado mediante el par ordenado de números reales $(x 1 - x 0; y 1 - y 0)$ , que se obtiene al restar las coordenadas del punto "P" a las coordenadas del punto "Q". De dicho par $(x 1 - x 0; y 1 - y 0)$ se dice que son las coordenadas del vector fijo.

Ejercicio (19´59") Sinopsis:

Estudio del signo de las coordenadas de un vector según la posición del origen y el extremo del vector

4 ejercicios (9´33") Sinopsis:

Videotutorial

Autoevaluación: Coordenadas del vector que une dos puntos Descripción:

En esta escena podrás calcular las coordenadas del vector que une dos puntos del plano.

Vectores equipolentes

Proposición

Dos vectores son equipolentes si y sólo si tienen las mismas coordenadas.

Equipolencia de vectores fijos. Vector libre (14´37") Sinopsis:

Videotutorial

Ejercicios: Vectores equipolentes

2 ejercicios (10´42") Sinopsis:

Videotutorial

Condición para que tres puntos estén alineados

Condición para que tres puntos estén alineados

Los puntos del plano $A(x_1,y_1)\,$ , $B(x_2,y_2)\,$ y $C(x_3,y_3)\,$ , están alineados si se cumple:

$\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2}$

Demostración:

Los puntos del plano $A(x_1,y_1)\,$ , $B(x_2,y_2)\,$ y $C(x_3,y_3)\,$ , están alineados si los vectores $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$ y $\overrightarrow{BC}=(x_3-x_2,y_3-y_2)$ tienen la misma dirección.

Ahora, esto ocurre si los vectores son proporcionales: $\overrightarrow{AB}=\lambda \, \overrightarrow{BC}$

$(x_2-x_1,y_2-y_1)=\lambda \, (x_3-x_2,y_3-y_2) \rightarrow \begin{cases} x_2-x_1=\lambda \, (x_3-x_2) \rightarrow \lambda=\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2} \\ y_2-y_1=\lambda \, (y_3-y_2) \rightarrow \lambda=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2} \end{cases}$

Igualando ambas expresiones de $\lambda \,$ , se obtiene lo que buscamos.

Condición para que tres puntos estén alineados (20´52") Sinopsis:

Producto de un escalar por un vector
Propiedades
Vectores colineales
Condición para que tres puntos estén alineados

Actividad interactiva: Condición para que tres puntos estén alineados

Actividad 1: En la siguiente escena comprobarás si tres los puntos, $A(-7,-2)\,$ , $B(-1,0)\,$ y $C(11,4)\,$ , están alineados.

Actividad:

Vamos a comprobar que las coordenadas de los vectores $\overrightarrow{AB}=(x_3-x_2,y_3-y_2)$ y $\overrightarrow{BC}=(x_3-x_2,y_3-y_2)$ son proporcionales, y que por tanto, los tres puntos están alineados.

$\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2} \quad \rightarrow \quad \cfrac{-1-(-7)}{11-(-1)}=\cfrac{0-(-2)}{4-0} \quad \rightarrow \quad \cfrac{6}{12}=\cfrac{2}{4}$

En efecto, están alineados.

Click aquí si no se ve bien la escena

Ejercicio:

Realiza los cálculos necesarios para comprobar que los puntos, $A(-7,-2)\,$ , $B(-1,0)\,$ y $C(5,2)\,$ , están alineados. Comprueba tus resultados en la escena moviendo el punto $C\,$ .

Actividad 2: En esta escena tenemos tres puntos $P(1,4)\,$ , $Q(5,-2)\,$ y $R(m,n)\,$ . Vamos a variar $m\,$ y $n\,$ , para conseguir que los tres puntos estén alineados.

Actividad:

Moviendo adecuadamente el punto $R\,$ , o cambiando los valores de $m\,$ y $n\,$ , puedes conseguir que los tres puntos estén en la misma recta azul, o sea, alineados.

Mueve el punto $R\,$ , para que sea $m=6\,$ , y esté alineado con $P\,$ y $Q\,$ . Anota en tu cuaderno el valor de $n\,$ obtenido.
Los siguientes cálculos nos permiten hallar el valor de $n\,$ que hemos observado en el apartado anterior:

$\overrightarrow{PQ}=(5-1,-2-4)=(4,-6); \quad \overrightarrow{QR}=(6-5,n+2)=(1,n+2)$

$\cfrac{4}{1}=\cfrac{-6}{n+2} \quad \rightarrow \quad n+2= -\cfrac{6}{4} \quad \rightarrow \quad n= -3.5$

Click aquí si no se ve bien la escena

Ejercicio:

1. Ahora mueve el punto $R\,$ para que sea $n=6\,$ , y esté alineado con $P\,$ y $Q\,$ . Anota en tu cuaderno el valor de $m\,$ obtenido.

Escribe en tu cuaderno los cálculos necesarios para obtener el valor de $m\,$ que has observado en el apartado anterior.

2. Mueve en la escena el punto $R\,$ en un lugar cualquiera que haga que los tres puntos estén alineados, y después de anotar las coordenadas de $R\,$ observadas, comprueba con cálculos, que las coordenadas de los vectores $\overrightarrow{PQ}$ y $\overrightarrow{QR}$ son proporcionales.

Punto medio de un segmento

Punto medio de un segmento

Las coordenadas del punto medio, $M\,$ , de un segmento de extremos $A(x_1,y_1)\,$ y $B(x_2,y_2)\,$ son:

$M=\Big( \cfrac{x_1+x_2}{2}, \cfrac{y_1+y_2}{2} \Big)$

Demostración:

Sea $M=(x_3,y_3)\,$ el punto medio del segmento $\overline{AB}$ . Tenemos que:

$\overrightarrow{AM}=\cfrac{1}{2} \, \overrightarrow{AB} \rightarrow (x_3-x_1, y_3-y_1)=\cfrac{1}{2} \, (x_2-x_1, y_2-y_1) \rightarrow$

$\rightarrow \begin{cases} x_3-x_1=\cfrac{1}{2} \, (x_2-x_1) \rightarrow 2(x_3-x_1)=x_2-x_1 \rightarrow x_3=\cfrac{x_1+x_2}{2} \\ y_3-y_1=\cfrac{1}{2} \, (y_2-y_1) \rightarrow 2(y_3-y_1)=y_2-y_1 \rightarrow y_3=\cfrac{y_1+y_2}{2} \end{cases}$

Con lo que obtenemos lo que buscabamos.

Punto medio de un segmento. (10´06") Sinopsis:

Videotutorial

Ejercicio: Trisección de un segmento

4 ejercicios (7´59") Sinopsis:

Videotutorial

Actividad interactiva: Punto medio de un segmento

Actividad 1: En la siguiente escena calcularemos el punto medio de un segmento de extremos $A(2,4)\,$ y $B(7,2)\,$ .

Actividad:

El punto medio del segmento es:

$M=\Big( \cfrac{2+7}{2}, \cfrac{4+2}{2} \Big)=(4.5,3)$

Click aquí si no se ve bien la escena

Ejercicio:

Calcula en tu cuaderno las coordenadas del punto medio del segmento de extremos $A(-3,7)\,$ y $B(7,-1)\,$ .
Comprueba el resultado en la escena anterior. Moviendo con el ratón los puntos $A\,$ y $B\,$ podrás comprobar cuáles son las coordenadas del punto medio $M\,$ .

Simétrico de un punto respecto de otro

Simétrico de un punto respecto de otro

El punto simétrico de $A(x,y)\,$ respecto del punto $P(a,b)\,$ es:

$A'=(2a-x,2b-y)\,$ .

Demostración:

El punto $P(a,b)\,$ es el punto medio del segmento $\overline{AA'}$ . Aplicando la fórmula del punto medio:

$P=(a,b)=\Big( \cfrac{x+x'}{2}, \cfrac{y+y'}{2} \Big) \rightarrow \begin{cases} a=\cfrac{x+x'}{2} \rightarrow x'=2a-x \\ b=\cfrac{y+y'}{2} \rightarrow y'=2a-y \end{cases}$

Con lo que obtenemos lo que buscabamos.

Actividad interactiva: Simétrico de un punto respecto de otro

Actividad 1: En la siguiente escena queremos calcular el punto $B(x,y)\,$ , simétrico de $A(2,4)\,$ respecto del punto $M(4.5,3)\,$ .

Actividad:

Vamos a utilizar la misma escena que para el punto medio, ya que los procedimientos son los mismos.

$M=(4.5,3)=\Big( \cfrac{2+x}{2}, \cfrac{4+y}{2} \Big)$

Igualando coordenada a coordenada, tenemos: $B(x,y)=(7,2)\,$

Click aquí si no se ve bien la escena

Ejercicio:

Calcula en tu cuaderno el simétrico, $B\,$ , del punto $A(8,4)\,$ respecto de $M(4,1)\,$ .
Compruébalo en la escena moviendo los puntos $A\,$ y $B\,$ .

Traslaciones y homotecias

Traslaciones (4´44") Sinopsis:

Traslación de vector $\vec u$ .

Ejercicios: Traslaciones

2 ejercicios (10´26") Sinopsis:

Videotutorial

Suma de vectores como composición de traslaciones (24´12") Sinopsis:

Suma de vectores: método del paralelogramo.
Coordenadas del vector suma.
Propiedades de la suma de vectores.
Suma de vectores como composición de traslaciones.

Homotecias (6´23") Sinopsis:

Homotecia de razón k

Operaciones con vectores

Ejercicios: Producto de un escalar por un vector

6 ejercicios (17´13") Sinopsis:

Videotutorial

Ejercicios: Producto escalar de vectores

6 ejercicios (11'11") Sinopsis:

Videotutorial

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Categorías: Matemáticas | Geometría

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Sistema de referencia en el plano

Coordenadas del vector que une dos puntos

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Condición para que tres puntos estén alineados

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