Plantilla:Función lineal afín
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Tabla de contenidos |
Función afín
Una función afín es aquella cuya expresión analítica es o puede ponerse como:
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e 
son variables.
es una constante que se denomina pendiente.
es otra constante denominada ordenada en el origen.
Función afín Descripción: En esta escena podrás ver e interactuar con las gráficas de funciones afines y estudiar sus propiedades.
Representación gráfica
Propiedad
- La gráfica de una función afín es una recta que corta al eje de ordenadas en el punto
.
- En consecuencia, para representarla, necesitamos dos puntos, uno de los cuales puede ser el
. El otro punto se obtendrá a partir de la ecuación.
Si 
, las funciones que se obtienen son de la forma 
y reciben el nombre de funciones constantes. Sus gráficas son rectas horizontales (paralelas al eje X).
Ejemplo: Función afín
- Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto. Haz una tabla que relacione el tiempo transcurrido (en minutos) y el volumen (en litros) de estanque que se llena. Escribe la fórmula que relaciona el volumen y el tiempo. Representa gráficamente los resultados.
- Repite el apartado anterior suponiendo que el estanque tiene un volumen inicial de 20 litros.
- ¿Y si partiésemos de un volumen inicial de 10 litros, cuáles serían los resultados?
- Compara las gráficas obtenidas e indica que tienen en común y en qué se diferencian.
- ¿Qué fórmula correspondería a esta situación gráfica?
| 1. Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto.
Partimos de que el estanque se encuentra vacío inicialmente. Completa la tabla:
La fórmula que expresa la relación entre el volumen y el tiempo es:
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| 2. Supongamos ahora que el estanque tiene inicialmente un volumen de 20 litros.
Completa la tabla:
La fórmula que expresa la relación entre el volumen y el tiempo ahora es:
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| 3. Ahora supondremos que el estanque tiene inicialmente un volumen de 10 litros.
Completa la tabla:
La fórmula que expresa la relación entre el volumen y el tiempo ahora es:
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4. Las graficas son rectas paralelas que cortan al eje de ordenadas a una altura que coincide con el volumen inicial del estanque. Por tanto, tienen en común que tienen la misma inclinación y se diferencian en el punto de corte con el eje de ordenadas.
5. Para esta gráfica que corta al eje de ordenadas en 5, la fórmula que expresa la relación entre el volumen y el tiempo es:
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Pendiente de una función afín
Concepto topográfico de pendiente
En topografía, la pendiente es la relación que existe entre el desnivel, o distancia en vertical, que debemos superar y la distancia en horizontal que debemos recorrer:
Se suele dar en tanto por ciento, para lo cual se multiplica la fracción anterior por 100:
Así, por ejemplo, una rampa con un ángulo de inclinación de 45º tiene una pendiente del 100%.
Este concepto de topográfico tiene mucho que ver con la pendiente de una función afín si consideramos la recta, su gráfica, como una rampa.
Concepto topográfico de pendiente Descripción: Escena en la que podrás calcular la pendiente de una rampa.
La pendiente y el crecimiento
Proposición
La pendiente, 
, de una función afín , describe su crecimiento:
- Si
, la función es creciente.
- Si
la función es decreciente.
- Si la función es constante (recta horizontal).
Además, cuanto mayor es su pendiente (en valor absoluto), más inclinada es su gráfica.
Cálculo de la pendiente de la función afín
Proposición
Consideremos una función de proporcionalidad directa y dos puntos 
y 
de la recta que la representa.
La pendiente se puede calcular de la siguiente manera:
Obtención de la función afín a partir de su gráfica
Procedimiento
Para determinar la ecuación de una función a fín a partir de su gráfica seguiremos los siguientes pasos:
- Localizaremos el punto de corte con el eje Y, , para averiguar el valor del parámetro
.
- Localizaremos otro punto de la recta cuyas coordenadas sean conocidas.
- Con esos dos puntos calcularemos la pendiente:
.
- Una vez averiguados
y y apodemos sustituirlos en la ecuación .
Nota: Este procedimiento sólo funciona si la gráfica nos permite determinar los puntos de los apartados 1 y 2.
En esta escena podrás practicar con ejercicios en los que se trata de obtener la ecuación de la función afín a partir de su gráfica.
 Actividades Interactivas: Función lineal afín
1. Cálculo de la pendiente y de la ordenada en el origen.
Actividad:
En esta escena puedes ver un método para calcular la pendiente de una recta cualquiera. Mueve el punto rojo y comprueba que para cualquier punto que no esté sobre la recta el cociente entre los segmentos señalados (verde y azul) permanece constante y es igual a la pendiente. Así:  a) Varia ahora el valor de m y de k con los pulsadores o escribiendo su valor y pulsando "intro" para hallar la pendiente de las siguientes rectas:
a)
En esta escena puedes ver el segmento que representa la ordenada en el origen de una recta. Cambia el valor de m y k. Observa el segmento amarillo que representa el valor de k y no depende, por tanto de m. El parámetro k se llama ordenada en el origen de la función afín porque indica el valor de la función cuando x vale cero. Comprueba que las rectas que pasan por el mismo punto del eje Y, tienen el mismo valor de k y se diferencian sólo en su pendiente.
2. Halla la ecuación de la recta a partir de su gráfica.
Actividad: Se trata de determinar la pendiente y la ordenada en el origen de una recta cualquiera, que son los elementos que se necesitan para escribir la ecuación. a) Tienes que escribir los valores de m y k para determinar la ecuación de la recta azul. Ayúdate del zoom para poder ver los puntos por los que pasa la recta. Para dar valores a m y k puedes escribir números decimales o fracciones como 5/7 ó -1/2 y pulsar la tecla Intro. El pulsador azul de la ayuda la activa y el rojo la desactiva. Con la ayuda activada no se cuentan los aciertos. Si aciertas verás la expresión de la función con color azul, si no aciertas verás la recta correspondiente de color rojizo. Después de cada acierto pulsa el botón animar para que se salga una nueva recta. |
b) 
c) 
Anota los resultados en tu cuaderno.
 Ejercicio: Función afín 1. La factura de la luz que hemos contratado en casa nos supone un coste de 10,44 €, además de 0,09 € por kilovatio-hora consumido.
Solución:
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