Plantilla:Definición de función (1ººBach)

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Tabla de contenidos

1 Concepto de función
2 Función real de variable real
- 2.1 Gráfica de una función
- 2.2 Operaciones con funciones
3 Simetrías de una función
4 Ejercicios propuestos

Concepto de función

Sean A y B conjuntos. Se llama función entre A y B a cualquier relación o correspondencia establecida entre los elementos de A y B de tal modo que a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B.

Si llamamos $f\;$ a la función entre A y B, ésta podemos expresarla simbólicamente:

$f: A \rightarrow B$

Al conjunto A se le denomina conjunto inicial y al B conjunto final..
Sea $x \in A\;$ , al elemento de B que se corresponda con $x\;$ lo representaremos por $f(x)\;$ y se leerá "imagen de x según f ". (Notación introducida por Euler en 1734)

Se pueden definir funciones entre cualquier tipo de conjuntos, pero las más interesantes son las que se establecen entre conjuntos de números. En este curso estudiaremos funciones definidas en el conjunto de los números reales: las funciones reales (conjunto final) de variable real (conjunto inicial), $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ .

Función real de variable real

Una función real de variable real, $f\;$ , es una correspondencia entre números reales que asocia a cada valor de la variable independiente $x\;$ un único valor de la variable dependiente $y\;.$ En tal caso decimos que " $y\;$ es función de $x\;$ " y lo representamos por $y=f(x)\;$ .

Simbólicamente:

$\begin{matrix} f \colon \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \ \qquad \quad \\ \quad \ x & \rightarrow & y=f(x) \end{matrix}$

Función real de variable real (16'6") Sinopsis:

Definición de función, variable independiente y variable dependiente. Ejemplos

Gráfica de una función

Gráfica de una función (15'16") Sinopsis:

La gráfica de una función real de variable real es una curva plana: cada punto "x" del conjunto inicial junto a su imagen "f(x)" determina un punto (x;f(x)) por el que pasa la gráfica de "f".

Actividades Interactivas: Funciones

1. Determina si son o no son funciones las siguientes gráficas.

Actividad:

Una función es una relación entre dos variables numéricas, habitualmente las denominamos $x\;$ (variable independiente) e $y\;$ (variable dependiente); Se le llama variable dependiente porque su valor depende del valor de la otra que llamamos independiente.

Pero además, para que una relación sea función, a cada valor de la variable independiente le corresponde uno y sólo un valor de la variable dependiente, no le pueden corresponder dos o más valores.

a) Observa en la escena las gráficas y di cuál de ellas es función y por qué no lo es la otra.

Observa al mover el punto P cuántos puntos de corte tiene la recta azul con cada gráfica; si es más de uno no es una función.

Click aquí si no se ve bien la escena

Operaciones con funciones

Operaciones con funciones (4'03") Sinopsis:

Definición de las distintas operaciones que se pueden realizar con funciones. Ejemplos.

Al conjunto de los valores que puede tomar la variable independiente $x\;$ , se le llama dominio de definición de la función. Lo representaremos por $D_f\;$ ó $Dom_f\;$
La imagen, rango o recorrido de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente $y\;$ . Lo representaremos por $Im_f\;$ o $R_f\;$ .

Dominio e imagen Descripción:

En esta escena podrás visualizar el dominio y la imagen de una función. Podrás elegir entre un tramo de recta (función lineal) o de parábola (función cuadrática).

Razones para restringir el dominio de una función:

Imposibilidad de realizar alguna operación con ciertos valores de $x\;$ que incumplan las quie hemos llamdo "reglas sagradas" del Cálculo. (Por ejemplo: denominadores que se anulan, radicandos que toman valores negativos, logaritmos de valores no positivos).
Contexto en el que se estudia la función (Por ejemplo, una función que relaciona lado y área de una figura plana, no puede tomar valores negativos).
Por voluntad de quien propone la función.

Ejemplo: Dominio de definición de una función

Halla el dominio de las funciones:

a) $y=x-3 \ , \quad x \in [-1,1]\;\!$

b) $y=\cfrac{1}{x-1}$

c) $y=\sqrt{x}$

d) $y=ln\, (x^2-4)\;$

e) $A=l^2\;$ (Área de un cuadrado de lado $l\;$ )

Solución:

a) Su dominio es $[-1,1]\;\!$ , por voluntad del que ha definido la función, ya que, en principio, cualquier valor de $x\;$ da un valor de $y\;$ válido.

b) Su dominio es $\mathbb{R}- \left \{ 1 \right \}$ , porque el denominador no puede tomar el valor cero, ya que imposibilitaría hacer la división.

c) Su dominio es $\mathbb{R^+}$ , porque el radicando no puede ser negativo para poder hallar la raíz.

d) Su dominio es $(-2,2)\;$ , porque el logaritmo de un número sólo existe si éste es positivo. Al resolver la inecuación $x^2-4>0\;$ resulta que $x \in (-2,2)$ .

d) Su dominio es $(0, + \infty)$ , porque el lado de un cuadrado sólo puede tomar valores positivos

Dominio de una función

Tutorial (8'51") Sinopsis:

El "dominio de definición" de la función "f" se denota Dom_f, y es el conjunto que forman los números reales "x" que tienen imagen segun "f"; o sea, los "x" tales que al calcular "f(x)" no se viola ninguna Regla Sagrada. A la hora de representar la gráfica de "f" lo primero SIEMPRE es determinar Dom_f, pues así sabremos en qué puntos del eje de abcisas hay curva y en qué puntos no la hay.

1. Ejemplos (8'45") Sinopsis:

5 ejemplos.

2. Ejemplos (8'07") Sinopsis:

Varios ejemplos.

3. Ejemplos (9'14") Sinopsis:

15 ejemplos.

4. Ejemplos (11'08") Sinopsis:

16 ejemplos.

5. Ejemplos (9'24") Sinopsis:

10 ejemplos.

6. Ejemplos (11'24") Sinopsis:

11 ejemplos.

7. Ejemplos (13'01") Sinopsis:

7 ejemplos.

8. Ejemplos (10'41") Sinopsis:

8 ejemplos.

9. Ejemplos (8'07") Sinopsis:

4 ejemplos.

10. Ejemplos (14'26") Sinopsis:

6 ejemplos.

11. Ejemplos (9'33") Sinopsis:

7 ejemplos.

12. Ejemplos (10'03") Sinopsis:

7 ejemplos.

Ejercicio 1 (0'48") Sinopsis:

Halla el dominio de $f(x)=2x^2+5\;$ .

Ejercicio 2 (1'34") Sinopsis:

Halla el dominio de $n(x)=\cfrac{x^2}{x+2}-5\;$ .

Ejercicio 3 (1'11") Sinopsis:

Halla el dominio de $h(x)=\cfrac{3x}{x-5}\;$ .

Ejercicio 4 (1'14") Sinopsis:

Halla el dominio de $m(x)=\sqrt{2x-6}\;$ .

Ejercicio 5 (1'02") Sinopsis:

Halla el dominio de $g(x)=\sqrt{x+4}\;$ .

Ejercicio 6 (1'52") Sinopsis:

Halla el dominio de $f(x)=\sqrt{2x-8}\;$ .

Ejercicio 7 (7'24") Sinopsis:

Halla el dominio de:

a) $g(x)=\cfrac{1}{\sqrt{6-\left| x \right|}}\;$ .

b) $h(x) = \begin{cases} \cfrac{x+10}{(x+10)(x-9)(x-5)} & \mbox{si }x \ne 5 \\ ~ \\ \qquad \qquad \pi & \mbox{si }x=5 \end{cases}$

Dominio e imagen de una función

Tutorial 1 (13´00") Sinopsis:

Conceptos de dominio y rango de una función. Ejemplos

Tutorial 2 (10'16") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el cálculo del dominio y la imagen de una función dada su gráfica.

Tutorial 3 (59'44") Sinopsis:

Dominio y rango de una función. Ejemplos.

Tutorial 4 (11'00") Sinopsis:

Dominio e imagen (o rango) de una función. Ejemplos.

Ejercicio (5'52") Sinopsis:

Expresa el área de un círculo en función de la longitud de su circunferencia e indica su dominio y recorrido.

Funciones polinómicas (34'30") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el cálculo del dominio e imagen (recorrido) de funciones dadas por su fórmula, en este caso de funciones polinómicas.

Funciones racionales (34'56") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el cálculo del dominio e imagen (recorrido) de funciones dadas por su fórmula, en este caso de funciones con quebrados algebraicos.

Funciones radicales (35'54") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el cálculo del dominio e imagen (recorrido) de funciones dadas por su fórmula, en este caso de funciones con radicales.

Otras funciones (28'14") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el cálculo del dominio e imagen (recorrido) de funciones dadas por su fórmula y en este caso interviene el valor absoluto de funciones y cuando aparecen mezcladas funciones polinómicas, con quebrados y radicales.

Dominio e imagen de una función

Actividad: Dominio e imagen de una función

a) Obtén el dominio y la imagen de la función $y=\sqrt{x}$ .

b) Obtén el dominio y la imagen de la función $y=\frac{1}{x}$ .

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) Domain and range sqrt(x)

b) Domain and range 1/x

Simetrías de una función

Una función es par si cumple que: $f(x)=f(-x) \ , \forall \, x \in Dom_f$ . En tal caso la gráfica es simétrica respecto del eje Y.
Una función es impar si cumple que: $f(x)=-f(-x) \ , \forall \, x \in Dom_f$ . En tal caso la gráfica es simétrica respecto del origen.

Simetrías de una función

Tutorial 1 (14'06") Sinopsis:

La función "f" se dice "par" si f(-x) = f(x), y se dice "impar" si f(-x) = -f(x).

Si "f" es par, su gráfica es simétrica respecto al eje de ordenadas.
Si "f" es impar, su gráfica es simétrica respecto al origen de coordenadas.
Obvio: si Dom f. no es simétrico respecto al punto "0", la función "f" no es par ni impar.

Tutorial 2 (34'07") Sinopsis:

Definición de función par e impar. Ejemplos.