Funciones arco (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Función arcoseno
2 Función arcocoseno
3 Función arcotangente

(Pág. 261)

Función arcoseno

La función seno no es inyectiva, pero si restringimos su dominio al intervalo $[-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}\,]$ entonces es biyectiva y tiene inversa. A su inversa la llamaremos arcoseno.

La función arcoseno se define como

$\begin{matrix} f:[-1,1] \rightarrow [-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}\,] \\ \, \qquad \qquad \qquad \ \ \ x \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ y=arcsen(x) \end{matrix}$

donde $arcsen(x)\;$ es el ángulo comprendido entre $-\cfrac{\pi}{2}$ y $\cfrac{\pi}{2}$ tal que su seno es igual a $x\;$

Funciones seno y arcoseno. Observa la simetría entre ambas.

Propiedades

La función arcoseno tiene las siguientes propiedades:

$D_f=[-1,1]\;$ e $Im_f=[-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}\,]$
Es continua en su dominio.
Su grafica es simétrica de la de su función inversa, el seno, respecto de la bisectriz del primer cuadrante.

Función arcocoseno

La función coseno no es inyectiva, pero si restringimos su dominio al intervalo $[0,\pi]\;$ entonces es biyectiva y tiene inversa. A su inversa la llamaremos arcocoseno.

La función arcocoseno se define como

$\begin{matrix} f:[-1,1] \rightarrow [0,\pi\,] \\ \, \qquad \qquad \qquad \ \ \ x \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ y=arccos(x) \end{matrix}$

donde $arccos(x)\;$ es el ángulo comprendido entre $0\;$ y $\pi\;$ tal que su coseno es igual a $x\;$

Imagen:Arccos.jpg

Funciones coseno y arcocoseno. Observa la simetría entre ambas.

Propiedades

La función arcocoseno tiene las siguientes propiedades:

$D_f=[-1,1]\;$ e $Im_f=[0,\pi\,]$
Es continua en su dominio.
Su grafica es simétrica de la de su función inversa, el coseno, respecto de la bisectriz del primer cuadrante.

Función arcotangente

La función tangente no es inyectiva, pero si restringimos su dominio al intervalo $(-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}\,)$ entonces es biyectiva y tiene inversa. A su inversa la llamaremos arcoseno.

La función arcotangente se define como

$\begin{matrix} f:\mathbb{R} \rightarrow (-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}\,) \\ \, \qquad \qquad \qquad \ \ \ x \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ y=arctan(x) \end{matrix}$