Plantilla:Límite de una función (1ºBach)

De Wikipedia

El concepto de límite es la base para poder abordar el concepto de continuidad y , más adelante, el de derivabilidad de una función. Es pués, de vital interés, tener bien claro este concepto.

Tabla de contenidos

Aproximación a un punto

  • Decimos que x\; tiende a a\; por la izquierda (x \rightarrow a^-) cuando a x\; se le dan valores menores que a\;, cada vez más próximos a a\;.
  • Decimos que x\; tiende a a\; por la derecha (x \rightarrow a^+) cuando a x\; se le dan valores mayores que a\;, cada vez más próximos a a\;.
  • Decimos que x\; tiende a a\; (x \rightarrow a) cuando a x\; se le dan valores cada vez más próximos a a\;.

Límite de de una función en un punto

Dada una función f(x)\;, cuando la variable independiente x\; se aproxima a un cierto punto a\;, ya sea por la derecha o por la izquierda, f(x)\; va tomando valores que pueden aproximarse o no a un cierto punto. Diremos que:

  • Una función f(x)\; tiene límite por la izquierda en un punto a\;, si existe un número L_1 \in \mathbb{R}, de manera que cuando x \rightarrow a^-\;, los correspondientes valores f(x) \rightarrow L_1. Lo representaremos:
\lim_{x \to a^-} f(x)=L_1

  • Una función f(x)\; tiene límite por la derecha en un punto a\;, si existe un número L_2 \in \mathbb{R}, de manera que cuando x \rightarrow a^+\;, los correspondientes valores f(x) \rightarrow L_2. Lo representaremos:
\lim_{x \to a^+} f(x)=L_2

  • Una función f(x)\; tiene límite en un punto a\;, si existe un número L \in \mathbb{R} de manera que

\lim_{x \to a^-} f(x)=\lim_{x \to a^+} f(x)=L

     y lo representaremos:

\lim_{x \to a} f(x)=L

     Nótese que aunque existan los límites laterales, si estos no coinciden, el límite no existe.

Límites infinitos. Asíntotas verticales

El concepto de límite visto en el apartado anterior puede extenderese al caso en que, al aproximarnos al punto a\;, la función se aproxime a +\infty ó -\infty.

  • Una función f(x)\; tiende a +\infty por la izquierda de un punto a\;, si f(x)\; se aproxima a valores positivos cada vez más grandes y no acotables, cuando x \rightarrow a^-\;. Lo representaremos:
\lim_{x \to a^-} f(x)=+\infty

  • Una función f(x)\; tiende a +\infty por la derecha de un punto c\;, si f(x)\; se aproxima a valores positivos cada vez más grandes y no acotables, cuando x \rightarrow c^+\;. Lo representaremos:
\lim_{x \to c^+} f(x)=+\infty

  • Una función f(x)\; tiende a +\infty en un punto c\;, si
\lim_{x \to a^-} f(x)=\lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty

     y lo representaremos:

\lim_{x \to a} f(x)=+\infty

  • De forma análoga se puede definir la tendencia a -\infty si cambiamos la frase "se aproxima a valores positivos cada vez más grandes y no acotables" por "se aproxima a valores negativos cada vez más pequeños y no acotables", en los tres casos.
  • En todos estos casos diremos que la función tiene una asíntota vertical en el punto x=a\;.

Continuidad de una función en un punto

Una función f(x)\; es continua en un punto a\;, si se cumple que:

\lim_{x \to a} f(x)=f(a)

Para que ésto se cumpla deben ocurrir las tres condiciones siguientes:

  • La función f(x)\; tiene límite en x=c\;: \lim_{x \to a} f(x)=L
  • La función está definida en x=a\;: Existe f(a)\;
  • Los dos valores anteriores coinciden: \lim_{x \to a} f(x)=f(a)

Tipos de discontinuidades

Discontinuidad evitable

Una función f(x)\; tiene una discontinuidad evitable en un punto x=c\; si existe \lim_{x \to c} f(x)=L \in \mathbb{R} pero éste no coincide con f(c)\;, bien porque f(x)\; no esté definida en x=c\; o bien porque simplemente sean distintos.

Evitable (no definida en un punto, tiene un hueco)
Evitable (punto desplazado que deja un hueco)

ejercicio

Ejemplos: Discontinuidad evitable


Discontinuidad esencial de primera especie

Una función f(x)\; tiene una discontinuidad esencial de primera especie de salto finito si existen los límites laterales y son finitos, pero estos no coinciden

\lim_{x \to c^+} f(x) \ne \lim_{x \to c^-} f(x)

Se llama salto al valor absoluto de la diferencia enter ambos límites:

salto=|\lim_{x \to c^+} f(x) - \lim_{x \to c^-} f(x)|

Una función f(x)\; tiene una discontinuidad esencial de primera especie de salto infinito si existen los límites laterales, siendo uno finito y otro infinito.

Una función f(x)\; tiene una discontinuidad esencial de primera especie asintótica si si existen los límites laterales, siendo ambos + o - infinito, pero no necesariamente iguales.

ejercicio

Ejemplos: Discontinuidad de primera especie


Discontinuidad esencial de segunda especie

Una función f(x)\; tiene una discontinuidad de segunda especie si no existe alguno de los límites laterales.

Estudio de la continuidad de una función

ejercicio

Ejemplos: Criterios de continuidad


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