Plantilla:Ramas infinitas. Asíntotas (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Ramas infinitas
2 Asíntotas
3 Ramas infinitas
- 3.1 Ramas infinitas cuando x tiene a infinito
- 3.2 Ejercicios propuestos
4 Ramas infinitas de las funciones racionales
- 4.1 Ejercicios propuestos
5 Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas
- 5.1 Ejercicios propuestos

Ramas infinitas

Decimos que una función $f(x)\;$ presenta una rama infinita si:

$f(x)\,$ tiende a $+ \infty$ ó $- \infty$ cuando $x\;$ tiende a un punto, por la derecha o por la izquierda.
$f(x)\,$ tiende a $+ \infty$ ó $- \infty$ cuando $x\;$ tiende a $+ \infty$ ó $- \infty$ .
$f(x)\,$ tiende a un número real cuando $x\;$ tiende a $+ \infty$ ó $- \infty$ .

Cuando la rama infinita se aproxima a una recta, ésta recibe el nombre de asíntota de la función.

Asíntotas

Las asíntotas son rectas hacias que se acerca la gráfica de una recta, tanto como se quiera, a medida que la variable independiernte se aproxima a un punto o a $+ \infty$ o a $-\infty$ .

Asíntotas verticales

Una función $f(x)\;$ presenta en $x=a\;$ una asíntota vertical (A.V.) si ocurre alguna, o ambas, de estas dos cosas:

$\lim_{x \to a^+} f(x)=+ \infty \ \ (\acute{o} \ -\infty)$

$\lim_{x \to a^-} f(x)=+ \infty \ \ (\acute{o} \ -\infty)$

La gráfica de la función se acerca a la recta $x=a\;$ (asíntota vertical), al aproximarse la variable $x\;$ al punto $x=a\;$ .

$\lim_{x \to 2^-} f(x)=-\infty \ ; \ \lim_{x \to 2^+} f(x)=+\infty$

Asíntotas horizontales

Una función $f(x)\;$ presenta una asíntota horizontal (A.H.) en $y=a\;$ si ocurre alguna, o ambas, de estas dos cosas:

$\lim_{x \to +\infty} f(x)= a$

$\lim_{x \to -\infty} f(x)= a$

$\lim_{x \to -\infty} g(x)=1 \ ; \ \lim_{x \to +\infty} g(x)=1$

Asíntotas oblicuas

Una función $f(x)\;$ presenta una asíntota oblicua (A.O.) en $y=mx+n\;$ si ocurre alguna, o ambas, de estas dos cosas:

$\lim_{x \to +\infty} [f(x)-(mx+n)]= 0$

$\lim_{x \to -\infty} [f(x)-(mx+n)]= 0$

Para calcular los coeficientes $m\;$ y $n\;$ de la asíntota, se procederá de la siguiente manera:

$m=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{f(x)}{x}$ (o con $x \to -\infty$ )

$n=\lim_{x \to +\infty} [f(x)-mx]$ (o con $x \to -\infty$ )

Ramas infinitas

Una función f(x) presenta una rama infinita si ocurre uno de los dos casos siguientes:

$f(x)\;$ presenta una asintota.
$\lim_{x \to +\infty} f(x)= +\infty \ (\acute{o} -\infty)$ , o bien, $\lim_{x \to -\infty} f(x)= +\infty \ (\acute{o} -\infty)$ .