Plantilla:Utilidad de la derivada (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Cálculo de la ecuación de la recta tangente a una curva
2 Estudio del crecimiento
3 Estudio de los puntos singulares
4 Problemas de optimización
5 Aplicación al cálculo de límites: Regla de L'Hopital
6 Para ampliar

Cálculo de la ecuación de la recta tangente a una curva

Proposición

La ecuación de la recta tangente a la curva $y=f(x)\;$ en un punto de abscisa $x=a\;$ viene dada por la ecuación:

$y-f(a)=f'(a)(x-a)\;$

Ejemplo: Ecuación de la recta tangente

Dada la función $f(x)=x^2-3\;$ , halla la ecuación de la recta tangente en el punto $x=1\;$ .

Solución:

$f(x)=x^2-3 \ \rightarrow \ f(1)=-2$

$f'(x)=2x \ \rightarrow \ f'(1)=2$

La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto $x_0=1\;$ es:

$y=y_0+m(x-x_0)\;$

$y=f(1)+f'(1)(x-1)\;$

$y=-2+2(x-1)\;$

$y=2x-4\;$

Puedes comprobar el resultado en la siguiente escena:

Ecuación de la recta tangente Descripción:

En esta escena podrás calcular la ecuación de la recta tangente a una curva .

Ejercicio resuelto: Ecuación de la recta tangente

Dada la función $f(x)=\cfrac{x^3-3x^2}{9}$ , halla las ecuaciones de la rectas tangentes que sean paralelas a la bisectriz del primer cuadrante</math>.

Solución:

Hay dos soluciones:

$y=x+\frac{5}{9}$
$y=x-3\;$

Puedes comprobar el resultado en la siguiente escena:

Ecuación de la recta tangente Descripción:

En esta escena podrás calcular la ecuación de la recta tangente a una curva .

Estudio del crecimiento

Procedimiento

Para estudiar el crecimiento de una función deberemos estudiar el signo de la función derivada:

En aquellos puntos donde la derivada sea positiva la función será creciente.
En aquellos puntos donde la derivada sea negativa la función será decreciente.

Funciones crecientes y decrecientes (13'02") Sinopsis:

Criterios de crecimiento y decrecimiento (7'19") Sinopsis:

Estudio de los puntos singulares

Se llaman puntos singulares de una función a los puntos en los que la derivada vale cero. Son puntos de tangente horizontal.

Esos puntos pueden ser máximos o mínimos, pero también pueden no serlo. Para determinar qué son, deberemos estudiar el crecimiento de la función.

Determinación de los extremos relativos (13'46") Sinopsis:

Determinación de máximos y mínimos absolutos (14'45") Sinopsis:

Problemas de optimización

Un problema de optimización es aquél en el que se pretende averiguar el máximo o el mínimo de una magnitud dada.

Por ejemplo, encontrar el área mínima, el menor coste, la forma óptima, la menor resistencia, el máximo beneficio, el mayor alcance...

Procedimiento

Identifica todas las cantidades dadas y las cantidades a determinar.
Escribe una ecuación primaria para la magnitud que debe hacerse máxima o mínima.
Reduce la ecuación primaria a una ecuación que sólo tenga una variable independiente. Este paso te puede exigir el utilizar ecuaciones secundarias que relacionen las variables independientes de la ecuación primaria. (Las despejas en las secundarias y las sustituyes en la primaria)
Fija el dominio de la ecuación primaria. Ésto es, determina el rango de valores para los que tiene sentido el problema planteado.
Obtén el valor máximo o mínimo solicitado mediante el estudio de los ceros y del crecimiento de la función derivada.

El verbo optimizar (09'03") Sinopsis:

Introducción a los problemas de optimización.
Ejemplo 1: Hallar el punto de la parábola $y=\cfrac{x^2}{4}$ más próximo al punto (-1,2).
Ejemplo 2: Hallar el punto de la curva $y^2=4x\,$ más próximo al punto (2,-1).

Actividades interactivas: Problemas de optimización

Problema 1: Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un triángulo isósceles cuya base (lado desigual) mide 8 cm y la altura correspondiente 3 cm (suponiendo que un lado del rectángulo está sobre la base del triángulo).

Solución:

Solución al problema 1 Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Problema 2: Queremos construir una caja (sin tapa), a partir de una cartulina cuadrada de 6 dm de lado, a la que se recortarán las esquinas. Hallar las dimensiones de las citadas esquinas para que el volumen de la caja sea máximo.

Solución:

Solución al problema 2 Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar loa solución del problema.

Problema 3: Queremos construir una lata de un tercio de litro de capacidad.

¿Cuáles serán las dimensiones de la lata más barata (en cuanto a superficie de hojalata)?.

Solución:

Solución al problema 3 Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Problema 4a: De todas las rectas que pasan por el punto (1,2), encuentra la que determina con los ejes de coordenadas, y en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima.

Problema 4b: De todas las rectas que pasan por el punto (a,b), encuentra la que determina con los ejes de coordenadas, y en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima.

Solución:

Solución al problema 4a Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Solución al problema 4b Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Problema 5: Un triángulo isósceles tiene el lado desigual de 12 cm y la altura relativa a ese lado de 5 cm. Encontrar un punto sobre la altura tal que la suma de distancias a los tres vértices sea mínima.

Solución:

Solución al problema 5 Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Problema 6: Dada la función definida en el intervalo [1,e] por $f(x)=\cfrac{1}{x} + ln \, x$ , determina cuáles de las rectas tangentes a su gráfica tiene la máxima pendiente.

Solución:

Solución al problema 6 Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Problema 7a: En una semicircunferencia de diámetro AB=2r se traza una cuerda CD paralela a AB. ¿Cuál debe ser la longitud de esa cuerda para que el área del trapecio ABDC sea máxima?

Problema 7b: En una semicircunferencia de diámetro AB=2r se traza una cuerda CD paralela a AB. Llamamos E al punto medio del arco CD y dibujamos el pentágono ACEDB. Calcula la longitud de la cuerda CD para que el área del pentágono sea máxima.

Solución:

Solución al problema 7a Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Solución al problema 7b Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Problema 8a: Un nadador, A, se encuentra a 3 km de la playa en frente de una caseta (C). Desea ir a B, en la misma playa, a 6 km de la caseta. Sabiendo que nada a 3 km/h y corre por la arena a 10 km/h, averigua a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a B en el menor tiempo posible.

Problema 8b: Un nadador, A, se encuentra a 3 km de la playa en frente de una caseta (C). Desea ir a B, en la misma playa, a 6 km de la caseta. Sabiendo que nada a v1 km/h y corre por la arena a v2 km/h, averigua a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a B en el menor tiempo posible.

Solución:

Solución al problema 8a Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Solución al problema 8b Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Problema 9a: Divide el número 8 en dos partes de manera que su producto multiplicado por la diferencia entre las partes sea tan grande como sea posible.

Problema 9b: Divide el número n en dos partes de manera que su producto multiplicado por la diferencia entre las partes sea tan grande como sea posible.

(Este es uno de los problemas que Ferrari puso a Tartaglia en su histórico duelo de problemas)

Solución:

Solución al problema 9a Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Solución al problema 9b Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Aplicación al cálculo de límites: Regla de L'Hopital

Para ampliar

Elasticidad de una función en un punto (11'36") Sinopsis:

Calculo de la variación porcentual.

Derivadas de orden superior (16'51") Sinopsis:

Concavidad y puntos de inflexión (30'41") Sinopsis:

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Utilidad_de_la_derivada_%281%C2%BABach%29"

Plantilla:Utilidad de la derivada (1ºBach)

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Cálculo de la ecuación de la recta tangente a una curva

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Aplicación al cálculo de límites: Regla de L'Hopital

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