Factorización de polinomios (4ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

1 Teorema del resto
2 Raíces de un polinomio
3 Raíces enteras de un polinomio
4 Factorización de polinomios

Teorema del resto

Teorema del Resto

El valor que toma un polinomio, $P(x)\;$ , cuando hacemos $x=a\;$ , coincide con el resto de la división de $P(x)\;$ entre $(x-a)\;$ . Es decir, $P(a)\,= r\,$ , donde $r\,$ es el resto de dicha división.

Demostración:

Esto se deduce directamente de una de las propiedades de la división, la que dice que:

$P(x)=Q(x)C(x) + R(x)\,,$

donde $P(x)\,$ es el dividendo, $Q(x)\,$ el divisor, $C(x)\,$ el cociente y $R(x)\,$ el resto y verificándose además, que el grado de $R(x)\,$ es menor que el grado de $Q(x)\,$ .

En efecto, si tomamos el divisor $Qx) = x-a\,$ , entonces $R(x)\,$ tiene grado menor que 1 (el grado del resto es 0); es decir, es una constante que podemos llamar $r\;$ , y la fórmula anterior se convierte en:

$P(x)=(x-a)c(x) + r\,.$

Tomando el valor $x=a \!\,$ se obtiene que:

$\frac{}{}P(a)=r$

Ejemplo: Teorema del Resto

Calcula el resto de dividir el polinomio $x^3 - 3x^2 - 7\;$ entre $(x-2)\;$

Solución:

Primer método:

Bastará calcular $P(2)=2^3-3 \cdot 2^2-7=-11$

Así el resto será $r=P(2)=-11\;$

Segundo método:

Usando la regla de Ruffini:

   | 1  -3   0   -7
   |                   
  2|     2  -2   -4
 --|----------------
   | 1  -1  -2  |-11
                |____

Así, el resto de la división es -11, y por el teorema del resto, P(2) = -11.

Teorema del resto

Tutorial 1 (4´11") Sinopsis:

Teorema del resto. Ejemplos.

Tutorial 2 (7´51") Sinopsis:

Si P(x) es un polinomio de grado no inferior a 1, el resto de la división P(x)/(x-a) es el número P(a) que se obtiene al sustituir "x" por "a" en P(x). La división P(x)/(x-a) es "exacta" si P(a) = 0; y en tal caso se dice que "a" es un "cero" o "raíz" del polinomio P(x), o una solución de la ecuación P(x) = 0.

Tutorial 3 (más general) (12´46") Sinopsis:

Teorema del resto para la división de un polinomio entre un binomio del tipo (ax+b).
Como ejemplo, también resolveremos los siguientes ejercicios:

1) Halla el resto de dividir el polinomio $2x^4-5x^3+3x-6\;$ entre el binomio $(x-2)\;$ .

2) Halla el resto de dividir el polinomio $9x^3+3x^2+3x+1\;$ entre el binomio $(3x+1)\;$ .

Ejercicio 1 (3'33") Sinopsis:

Halla el resto de la división del polinomio $x^3-2x^2+9\;$ entre $(x+2)\;$ .

Ejercicio 2 (7'08") Sinopsis:

Halla el valor de $k\;$ para que la división del polinomio $5x^4-x^2+kx-4\;$ entre $(x+2)\;$ sea exacta.

Ejercicio 3 (10´49") Sinopsis:

1) Halla el resto de la división del polinomio $x^3+x^2+x-1\;$ entre $(x-2)\;$ , $(x+2)\;$ , $(x-0)\;$ y $(3-x)\;$ .

2) Determina el valor de k para que el polinomio $Q(x)=kx^3+(2k-1)x^2+x-k\;$ sea divisible por $(x-2)\;$ .

3) Sea $T(x)=4x^3-2kx^2+k^2 x-k\;$ . Halla el valor de k para que el resto de la división de $T(x)\;$ entre $(x-1)\;$ sea igual a 2.

Ejercicio 4 (18´08) Sinopsis:

a) Halla el resto de la división de $5x^4-7x+6\;$ entre $x+1\;$ .

b) y c) Otros dos ejercicios de nivel superior.

Autoevaluación: Teorema del resto Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el teorema del resto.

Raíces de un polinomio

Un número $a\,$ es una raíz o un cero de un polinomio $P(x)\,$ , si $P(a)\, = 0\,$ . Dicho de otra forma, las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación $P(x)\,= 0\,$ .

Corolario al Teorema del Resto

Si $x=a\;$ es una raíz de un polinomio $P(x)\;$ , entonces $(x-a)\;$ es un factor de dicho polinomio.

Demostración:

Es una consecuencia directa del teorema del resto. En efecto, si $x=a\;$ es una raíz de $P(x)\;$ , entonces $P(a)=0\;$ y, por el teorema del resto, el resto de dividir $P(x)\;$ entre $(x-a)\;$ es cero. Así $(x-a)\;$ es un factor de $P(x)\;$ .

Raíces enteras de un polinomio

Tenemos un polinomio $P(x)\,\!$ con raíces entera y queremos encontrarlas. Para hacerlo tenemos que ir probando a dividirlo por $(x-a)\,\!$ , pero ¿qué valor puede tomar $a\,\!$ ? El siguiente resultado nos da la respuesta:

Teorema

Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores de su término independiente.

Demostración:

Demostración:

En efecto, sea $x=a\;$ una raíz entera de un polinomio con coeficientes enteros

$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$

Entonces, como $P(a)=0\;$ , tendremos que

$P(a)=a_na^n+a_{n-1}a^{n-1}+\cdots+a_1a+a_0=0$

de donde, despejando el termino independiente

$-a_0=a_na^n+a_{n-1}a^{n-1}+\cdots+a_1a$

Como el miembro de la derecha contiene al factor $a\;$ en todos sus sumandos, es un múltiplo de $a\;$ , entonces $a_0\;$ también. Luego $a\;$ divide al término independiente.

Factorización de polinomios

Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios con el menor grado posible.

Factorización de polinomios de grado 2

Factorización de polinomios de segundo grado

Un polinomio de segundo grado, $kx^2+mx+n\;$ , con raíces rales, $a\;$ y $b\;$ , se puede factorizar de la forma

$k(x-a)(x-b)\;$

Ejemplos: Factorización de polinomios de segundo grado y reducibles

Factoriza los siguientes polinomios

a) $5x^2+5x-60\;$

b) $5x^3+5x^2-60x\;$

Solución:

El polinomio $5x^2+5x-60\;$ tiene dos raíces: $x_1=3,\ x_2=-4$ , que se obtienen de resolver la ecuación de segundo grado $5x^2+5x-60=0\;$ . Entonces:

$5x^2+5x-60=5(x-3)(x+4)\;$

El polinomio incompleto de grado 3, $5x^3+5x^2-60x\;$ , se puede descomponer de la siguiente manera:

$5x^3+5x^2-60x=x(5x^2+5x-60)=5x(x-3)(x+4)\;$

(Observa que primero hemos sacado factor común $x\;$ y luiego hemos factorizado el polinomio de grado 2, como hicimos en el ejemplo anterior).

Factorización de polinomios de grado 2

Tutorial (8'02") Sinopsis:

Descomposición factorial de polinomios de grado 2 resolviendo la ecuación de segundo grado.

Ejercicio 1 (13'56") Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomios de segundo grado resolviendo la ecuación de 2º grado:

5a) $x^2-10x+25\;$

5b) $2x^2+2x-4\;$

Ejercicio 2 (8'51") Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomios de segundo grado resolviendo la ecuación de 2º grado:

5c) $3x^2-6x-9\;$

5d) $x^2+3x+2\;$

Ejercicio 3 (9'38") Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomios de segundo grado resolviendo la ecuación de 2º grado:

5e) $3x^2-3x-18\;$

5f) $-x^2+3x+10\;$

Ejercicio 4 (6'08") Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomios de segundo grado resolviendo la ecuación de 2º grado:

a) $x^2+5x+6\;$

b) $2x^2-7x-15\;$

c) $2x^2-18\;$

d) $-6x^2+6x\;$

Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2

Procedimiento para factorizar polinomios

Siempre que se pueda, sacaremos $x\;$ factor común.
Mediante la regla de Ruffini podremos buscar las raíces enteras o fraccionarias del polinomio. Así, si encontramos una raíz $x=a\;$ de un polinomio $P(x)\;$ , tendremos que $P(x)=(x-a)\,Q(x)\;$ , donde $Q(x)\;$ tiene un grado menos que $P(x)\;$ .

Un polinomio de grado mayor que 2 no pueda factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con los conocimientos que tenemos.

Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini

Factorización de un polinomio por Ruffini

Para factorizar un polinomio mediante la regla de Ruffini, aplicaremos ésta sucesivamente, utilizando como candidatos a raíces enteras, los divisores del término independiente y como candidatos a raices fraccionarias, las que resultan de dividir los divisores del término independiente entre los divisores del término de mayor grado.

Nota:

Cuando al aplicar la regla de Ruffini nos quede un polinomio de segundo grado en el cociente, en vez de seguir probando por Ruffini, es preferible aplicar la fórmula de la ecuación de segundo grado para obtener las dos últimas raíces y por tanto los dos últimos factores. Esto será así, siempre y cuando, el discriminante de la ecuación no sea negativo, ya que de serlo, no habrá más raíces y no podremos descomponerlo más.

Ejemplo: Regla de Ruffini

Factoriza el siguiente polinomio:

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2\,\!$

Solución:

Primero sacamos factor común $3x^2\,\!$ :

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 = 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70)\,\!$

Ahora aplicamos Ruffini. Los divisores de $70\,\!$ son $1,\ -1,\ 2,\ -2,\ 5,\ -5,\ \mbox{etc.}\,\!$

Empezaremos probando con el 1:

   | 1  -1  -39  109  -70
   |                   
  1|     1    0  -39   70
 --|----------------------
   | 1   0  -39   70  |0
                      |____

Como el resto es cero, hemos encontrado una de las raíces, $x=1\;$ y uno de los factores $(x-1)\;$ .

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =\,\!$

$= 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70)=\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x^3 -39x +70)\,\!$

Seguimos aplicando Ruffini. Probamos con 1, de nuevo ya que podría repetirse dicha raíz:

   | 1   0  -39   70
   |                   
  1|     1    1   38
 --|-----------------
   | 1   1   38 |108
                |____

El resto es diferente de cero con lo que tenemos que seguir probando, con el -1:

   | 1   0  -39   70
   |                   
 -1|    -1    1   38
 --|-----------------
   | 1  -1  -38 |108
                |____

El resto vuelve a ser diferente de cero, probamos con 2:

   | 1  0  -39   70
   |                   
  2|    2    4  -70
 --|----------------
   | 1  2  -35   |0
                 |____

Ya hemos encontrado otra raíz, $x=2\;$ , y el factor correspondiente, $(x-2)\;$ .

El polinomio quedará de la siguiente forma:

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =\,\!$

$= 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70)=\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x^3 -39x +70)\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x-2)(x^2+2x-35)\,\!$

Finalmente para encontrar las dos últimas raíces utilizamos la fórmula de la ecuación de 2º grado:

$x^2+2x-35=0 \rightarrow x=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2 -4 \cdot (-35)}}{2}=\frac{-2 \pm 12}{2}=\begin{cases} x_1=-7 \\ x_2=5 \end{cases}$

Así, sus raíces son 5 y -7 y sus factores (x-5) y (x+7).

De esta manera:

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =\,\!$

$= 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70=\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x^3 -39x +70)\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x-2)(x^2+2x-35)\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x-2)(x-5)(x+7)\,\!$

Con lo que queda descompuesto el polinomio.

Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini

Tutorial 1 (26'17") Sinopsis:

Método que nos permite factorizar polinomios de grado mayor que dos.

Tutorial 2 (9´55") Sinopsis:

Factorizar un polinomio P(x) es expresarlo como producto de otros de menor grado que él, y para ello hay que calcular los "ceros" de P(x), cosa no siempre fácil.
Si "a" es un "cero" de P(x) y C(x) es el cociente de la división P(x)/(x-a), entonces P(x) = (x-a).C(x).
Teorema de la factorización: si los coeficientes de un polinomio P(x) son números enteros, los ceros enteros de P(x) son divisores del término independiente de P(x).
Si la suma de los coeficientes de P(x) es 0, pues apostar tranquilamente la vida a que el número 1 es un "cero" de P(x); o sea, P(x) es divisible por (x-1).

Tutorial 3 (9'19") Sinopsis:

Cómo hacer una descomposición factorial de polinomios por Ruffini.

Ejercicio 1 (11´14") Sinopsis:

Factoriza los polinomios:

a) $P(x)=x^3-2x^2-x+2 \;$