Vectores: Producto escalar (1ºBach)
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Tabla de contenidos |
Producto escalar de vectores
Se llama producto escalar de dos vectores y , al número real que se obtiene multiplicando los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman:
Propiedades del producto escalar
Propiedad fundamental del producto escalar
Propiedades (1)
- Si ó entonces .
- se cumple que
- La primera propiedad es inmediata.
- Para la segunda propiedad, si ambos vectores no son nulos, entonces, para que el producto escalar sea cero, debe ser cero el coseno del ángulo que forman, y esto ocurre sólo si el ángulo es de 90º.
Signo del producto escalar
Propiedades (2)
El signo del producto escalar queda determinado por el ángulo que forman los vectores:
- si es agudo.
- si es obtuso.
Esta propiedad es inmediata, ya que el coseno de un ángulo es positivo, si éste es agudo, y negativo, si es obtuso.
En esta escena podrás ver como se calcula el producto escalar de vectores y cómo es su signo.
Operaciones con el producto escalar
Propiedades (3)
- Conmutativa: .
- Asociativa mixta: .
- Distributiva: .
- Propiedad conmutativa:
- Propiedad asociativa:
- (Recuerda que ángulos suplementarios tienen cosenos opuestos).
- Así tenemos una de las igualdades: . La otra igualdad se obtendría de forma similar.
- Propiedad distributiva:
- Obteniendo la igualdad buscada.
Proyección de vectores y producto escalar
Llamaremos proyección del vector sobre el vector , al número siendo el ángulo que forman los dos vectores. Observa que la proyección es un número positivo o negativo según lo sea . |
Corolario (5): Proyecciones coincidentes Si las proyecciones sobre de y de coinciden, entonces: Demostración: Proyecciones de vectores Descripción: En esta escena podrás ver como se representa y calcula la proyección de un vector sobre otro. |
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Producto escalar |
El producto escalar con bases ortonormales
Expresión analítica del producto escalar en bases ortonormales
Proposición (6)
Sea una base ortonormal, entonces
En efecto, al ser los vectores de la base unitarios y perpendiculares, tenemos:
Proposición (7)
Si las coordenadas de los vectores y , respecto de una base otonormal son y , entonces:
En efecto, al ser los vectores de la base unitarios y perpendiculares, tenemos:
En esta escena podrás ver como se representa el producto escalar de dos vectores.
Vector ortogonal a otro
Proposición (10)
Los vectores de coordenadas y , respecto de una base ortonormal, son ortogonales.
Por la propiedad fundamental, sabemos que:
Por otro lado, como las base es ortonormal, la expresión analítica del producto escalar es
De manera que el producto escalar vale cero y, por tanto, los vectores son ortogonales.Halla 3 vectores ortogonales a (2,3).
Solución: Por la proposición anterior: (-3,2).
Cualquier múltiplo de (-3,2) también será ortogonal: (3,-2) y (-6,4)
Ejemplo:
Calcula el valor de para que el vector sea ortogonal a , respecto de una base ortonormal.
Al venir dadas las coordenadas respecto de una base ortonormal, para que los vectores dados sean ortogonales, su producto escalar debe ser cero:
En esta escena podrás ver como es el producto escalar de vectores ortogonales.
Módulo de un vector en una base ortonormal
Proposición (8)
El módulo de un vector , respecto de una base otonormal, es
Si respecto de una base otonormal, entonces:
Por otro lado:
Igualando ambos resultados tenemos lo que buscamos.- Módulo de un vector.
- Ejemplos.
Nota: En la segunda parte del video se trata el caso de vectores tridimensionales.
- Vector unitario.
- Ejemplos de como calcularlos.
Nota: En la segunda parte del video se trata el caso de vectores tridimensionales.
- Módulo de un vector.
- Ejemplos.
- Vectores unitarios.
Dados los vectores y , calcula:
- a)
- b)
- c)
Ángulo de dos vectores en una base ortonormal
Proposición (9)
Dados dos vectores, y , respecto de una base otonormal, se cumple que
Si y , respecto de una base otonormal, entonces:
Por otro lado:
Sustituyendo en esta última expresión las anteriores, tenemos lo que buscamos.Dados los vectores y , respecto de una base otonormal, vamos a calcular el ángulo que forman:
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Producto escalar con bases ortonormales |
Producto escalar de vectores (enfoque alternativo)
En estos videotutoriales se va partir de la proposición (7) como definición de producto escalar y se va a deducir como resultado la definición de la que hemos partido al comienzo de este capítulo.