Límite de una función (2ºBach)

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Límite de de una función en un punto

El concepto de límite es la base para poder abordar el concepto de continuidad y , más adelante, el de derivabilidad de una función. Es pués, de vital interés, tener bien claro este concepto.

Definición informal de límite

De manera informal, diremos que una función tiene límite en , o que tiende a cuando se acerca a , si se puede hacer que esté tan cerca como queramos de , haciendo que esté suficientemente cerca de , pero sin llegar a .

Definición formal de límite

Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:

El límite de una función , cuando tiende a , es , si y sólo si, para todo , existe un , tal que para todo número real en el dominio de la función, si entonces .

Esto, escrito en notación formal:

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Tomando valores arbitrarios de ε, podemos elegir un δ para cada uno de estos, de modo que f(x) y L se acerquen a medida que x se acerca a c.

Esta es una formulación estricta del concepto de límite de una función real en un punto de acumulación del dominio de la función y se debe al matemático francés Luis Cauchy.

Límite de una función en un punto

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Demostrar que usando la definición formal de límite.

Solución:

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Utilicemos entonces la definición, debemos demostrar que para cualquier dado podemos hallar un δ para el cual se cumple

{{{fórmula}}}

{{{ref}}}

Tomando es posible probar esto. Es válido ya que nos permite obtener un valor para cualquier dado, que es precisamente lo que enuncia la definición.

Probaremos entonces la tesis, tomando como hipótesis .

Veamos que | (3x − 5) − 1 | = | 3x − 6 | = 3 | x − 2 | , luego por hipótesis y queda demostrado Plantilla:Eqnref.

Nótese que bien podríamos haber elegido o , por ejemplo. En tanto , siempre podremos demostrar Plantilla:Eqnref.