Límite de una función (2ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Introducción
2 Límite de de una función en un punto
3 Límites laterales
4 Límites infinitos

Introducción

Recordemos algunos conceptos:

Decimos que " $x\;$ tiende a $a\;$ por la izquierda" ( $x \rightarrow a^-$ ) cuando $x\;$ toma valores menores que $a\;$ , cada vez más próximos a $a\;$ , tan próximos a $a\;$ como se quiera.
Decimos que " $x\;$ tiende a $a\;$ por la derecha" ( $x \rightarrow a^+$ ) cuando $x\;$ toma valores mayores que $a\;$ , cada vez más próximos a $a\;$ , tan próximos a $a\;$ como se quiera.
Decimos que " $x\;$ tiende a $a\;$ " ( $x \rightarrow a$ ) cuando $x\;$ toma valores cada vez más próximos a $a\;$ , tan próximos a $a\;$ como se quiera, tanto a su izquierda como a su derecha.

Decimos que " $x\;$ tiende a + infinito" ( $x \rightarrow + \infty$ ) cuando $x\;$ toma valores positivos tan grandes como queramos.

Decimos que " $x\;$ tiende a - infinito" ( $x \rightarrow - \infty$ ) cuando $x\;$ toma valores negativos tan pequeños como queramos.

A veces te podrás encontrar también la expresión " $x\;$ tiende a infinito" ( $x \rightarrow \infty$ ) cuando $x\;$ tiende, indistintamente, a $+ \infty$ o a $- \infty$ , aunque también hay quien la usa en lugar de $x \rightarrow + \infty$ .

Recordando cosas importantes (11'47") Sinopsis:

Concepto de distancia entre dos puntos.
Concepto de entorno de un punto.
Aproximación a un punto por la derecha y por la izquierda.
Aproximación a $+\infty$ y $-\infty$ .

La Madre del Cordero del Cálculo (8'53") Sinopsis:

En este vídeo, el más importante de todos, hablamos del mágico instante en que tú, el número real "x", por amor, consagras gozosamente tu existencia a la observación y análisis de la Dulcinea "f(x)" que da sentido a tu vida y la llena de alegría y diversión.

Límite de de una función en un punto

El concepto de límite es la base para poder abordar el concepto de continuidad y , más adelante, el de derivabilidad de una función. Es pués, de vital interés, tenerlo bien claro.

Definición informal de límite

De manera informal, diremos que una función $f ~$ tiene límite $L~$ en $c~$ , o que $f ~$ tiende a $L ~$ cuando $x~$ se acerca a $c ~$ , si se puede hacer que $f(x)~$ esté tan cerca como queramos de $L ~$ , haciendo que $x~$ esté suficientemente cerca de $c~$ , pero sin llegar a $c~$ .

Definición formal de límite

Los conceptos "cerca" y "suficientemente cerca" son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos.

Sea $f\;$ una función con dominio $Dom_f\;$ y sea $c \;$ un punto de acumulación de $Dom_f\;$ . Diremos que el límite de una función $f(x)\;$ , cuando $x~$ tiende a $c~$ , es $L ~$ , si y sólo si, para todo $\varepsilon > 0 \;$ , existe un $\delta > 0 \;$ , tal que para todo número real $x~$ del dominio de la función, si $0 < |x-c| < \delta \;$ , entonces $|f(x)-L| < \varepsilon \;$ .

Es decir,

$\lim_{x\to c} \, \,f(x) = L$ $\iff \forall \varepsilon > 0 ,\,\,\, \exists \delta > 0 \, \ | \ \, \forall x \in \operatorname{Dom}_f, \,\,0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$

Esta es una formulación estricta del concepto de límite de una función real en un punto de acumulación del dominio de la función y se debe al matemático francés Luis Cauchy.

El límite de una función en un punto según Cauchy (18'31") Sinopsis:

Definición rigurosa de límite de una función en un punto.

Observaciones:

Para entender bien el concepto de límite, recuérdese la definición de distancia entre dos puntos de la recta real, según la cual, $d(x,c)=|x-c| \;$ .

Decir que $c~$ es un punto de acumulación del dominio de la función equivale a decir que cualquier intevalo abierto de centro $c~$ contiene a puntos del dominio de la función distintos de $c~$ , o dicho informalmente, que nos podemos acercar a $c~$ tanto como queramos mediante puntos del dominio distintos de $c~$ .

Exigir que $c~$ sea punto de acumulación del dominio es necesario para que la definición tenga sentido. En caso contrario, no podríamos hablar de valores de $x~$ "suficientemente cerca" de $c~$ cuyas imágenes están tan "cerca" de $L~$ como se desee.

Es muy importante observar que $c~$ no tiene por qué pertenecer al dominio de la función para poder hablar de límite cuando x tiende a $c~$ . Es decir, podemos calcular el límite en un punto en el que la función no esté definida.

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Tomando valores arbitrarios de ε, podemos elegir un δ para cada uno de estos, de modo que f(x) y L se acerquen a medida que x se acerca a c.

Límite de una función en un punto

Demostrar que $\lim_{x\to 2}(3x-5)=1$ usando la definición formal de límite.

Solución:

Utilizando la definición, debemos demostrar que para cualquier $\varepsilon\;$ dado podemos hallar un $\delta\;$ para el cual se cumpla:

$0<|x-2|<\delta \Rightarrow |(3x-5)-1|<\varepsilon$ [1]

Tomando $\delta = \frac{1}{3} \, \varepsilon$ será posible probar esto. Esto es válido ya que nos permite obtener un valor para cualquier $\varepsilon$ dado, que es precisamente lo que enuncia la definición.

Probaremos entonces la tesis, tomando como hipótesis:

$0<|x-2|<\frac{1}{3}\varepsilon$ [2]

Dado que

$|(3x-5)-1|=|3x-6|=3|x-2|\;$

y que , por [2]:

$\textstyle 3|x-2|<3 \, \cfrac{1}{3} \, \varepsilon=\varepsilon$

queda demostrado [1].

Nótese que bien podríamos haber elegido $\delta=\frac{1}{6}\varepsilon$ o $\delta=\frac{1}{15}\varepsilon$ , por ejemplo. En tanto $\delta\leq\frac{1}{3}\varepsilon$ , siempre podremos demostrar [1].

Teorema

Si el límite de una función existe, entonces es único.

Demostración:

upóngase que $\textstyle \lim_{x\rightarrow c}f(x)=L$ y también que $\textstyle \lim_{x\rightarrow c}f(x)=L'$ siendo L y L' distintos; se debe de comprobar que no puede ser que $L'\neq L$ verificándose la definición de límite. Para ello se toma un entorno E de L y un entorno E' de L' que no se intersequen. Por definición de límite $f(x)\in E$ para todo x en algún entorno agujereado de c, por lo que no puede estar en E', evitando que el límite sea L'.

El teorema de unicidad provee de una valiosa herramienta para refutar la existencia de límites.

Funciones sin límite en un punto

Función sin límite

La función de Dirichlet, $D:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida como:

$D(x) = \begin{cases} c & \mathrm{si \ } x \in \mathbb{Q} \\ d & \mathrm{si \ } x \in \mathbb{I} \\ \end{cases}$

tiene la peculiaridad de que, para cualquier valor $a\;$ de su dominio, el $\lim_{x \to a}f(x)$ no existe.

Solución:

Para demostrar la anterior afirmación, es necesario hacer uso del hecho de que cualquier intervalo contiene tanto números racionales como irracionales.

Funciones sin límite en un punto (17'06") Sinopsis:

Sólo tiene sentido calcular los límites laterales de una función en un punto cuando la función está definida en las "proximidades" del punto.

Límites laterales

Límite de una función en un punto. Límites laterales (28'30") Sinopsis:

En este vídeo hablamos de los dos límites laterales de una función "f" en un punto "a" (límite de "f" en "a" por la izquierda y límite de "f" en "a" por la derecha), interpretándolos en términos geométricos. Si dichos dos límites laterales de "f" en "a" son iguales a "L", se dice que "L" es el límite de "f" en "a".

Conceptos de límite de una función por la derecha y por la izquierda de un punto.
Concepto de límite de una función en un punto.
Se puede calcular el límite en un punto independientemente de que el punto pertenezca o no al dominio de la función. Ejemplos.

Límites infinitos

Límite de una función en el infinito

Tutorial 1 (Idea intuitiva) (17'30") Sinopsis:

En este vídeo hablamos del límite de la función "f" cuando x → +∞; ya sea dicho límite finito, +∞ ó -∞. También hablamos del límite de "f" cuando x → -∞; ya sea dicho límite finito, +∞ ó -∞.

Tutorial 2 (Definición rigurosa) (33'58") Sinopsis:

Definición rigurosa de límite de una función cuando x tiende a (+/-) infinito.