Aplicaciones de la derivada (2ºBach)

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Tabla de contenidos

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1 Estudio del crecimiento y de los puntos singulares
2 Utilidad de la segunda derivada
- 2.1 Concavidad y puntos de inflexión
3 Teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy
4 Ejercicios

Estudio del crecimiento y de los puntos singulares

Procedimiento

Para estudiar el crecimiento de una función deberemos estudiar el signo de la función derivada:

En aquellos puntos donde la derivada sea positiva la función será creciente.
En aquellos puntos donde la derivada sea negativa la función será decreciente.

Estudio del crecimiento [Mostrar]

Se llaman puntos singulares de una función a los puntos en los que la derivada vale cero. Son puntos de tangente horizontal.

Esos puntos pueden ser puntos extremos (máximos o mínimos), pero también pueden no serlo. Para determinar qué son, deberemos estudiar el crecimiento de la función.

Extremos de una función [Mostrar]

Ejercicio resuelto: Puntos singulares y crecimiento

Dada la función $f(x)=x^3-6x^2+9x+2\;$ , halla sus puntos singulares y estudia su crecimiento.

Solución:[Mostrar]

$f'(x)=3x^2-12x+9\;$

Puntos singulares:

$f'(x)=0 \iff 3x^2-12x+9=0 \iff x=\begin{cases} x_1= 1 \\ x_2=3 \end{cases}$

Para estudiar el crecimiento determinaremos el signo de la función derivada mediante una tabla en la que estableceremos zonas delimitadas por los puntos singulares y por los puntos de discontinuidad, si los hubiese. En nuestro caso hay 3 zonas porque hay 2 puntos singulares y no hay discontinuidades, por tratarse f'(x) de una función polinómica.

             -inf     1       3    +inf       
          -----!------!-------!------!
          f'(x)!  +   !   -   !  +   !
          -----!------!-------!------!
           f(x)! Cre  ! Decre ! Cre  !
          ----------------------------

Como f(1)=6 y f(3)=2, el anterior análisis del crecimiento nos permite determinar que (1,6) es un máximo y (3,2) es un mínimo.

Extremos relativos [Mostrar]

Utilidad de la segunda derivada

Concavidad y puntos de inflexión

Una función real es cóncava en un intervalo (a,c), si para todo punto "b" del intervalo la recta tangente en ese punto queda por encima de la función. (Algunos autores llaman concava hacia abajo)
Una función real es convexa en un intervalo (a,c), si para todo punto "b" del intervalo la recta tangente en ese punto queda por debajo de la función. (Algunos autores llaman concava hacia arriba)
Un punto de infexión de una función es aquel punto del dominio de la función en el cual la función cambia de concavidad, es decir, pasa de ser concava a convexa o viceversa.

Procedimiento

Para estudiar la concavidad de una función deberemos estudiar el signo de la función derivada segunda:

En aquellos puntos donde la derivada segunda sea positiva la función será cóncava hacia arriba.
En aquellos puntos donde la derivada segunda sea negativa la función será cóncava hacia abajo.
En aquellos puntos donde la derivada segunda sea nula la función puede tener un punto de inflexión. Su determinación se hará viendo el signo de la derivada segunda antes y después del punto.

Derivadas de orden superior (16'51") Sinopsis: [Mostrar]

Utilidad de la segunda derivada [Mostrar]