Funciones: Definición

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Tabla de contenidos

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Introducción

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Concepto de función

  • Una función es una relación entre dos variables (por ejemplo, x\; e y\;) que a cada valor de x\; le asigna un único valor de y\;.
  • La variable x\; se llama variable independiente y la variable y\; se llama variable dependiente, porque su valor depende de x\;.
  • Se dice que y\; es función de x\; y lo representamos por y = f(x)\;\!. También se dice que y\; es la imagen de x\; mediante la función f\;.

En los siguientes videos se explican los conceptos básicos sobre funciones que trataremos a lo largo de este tema.

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Formas de expresar una función

Una función se puede expresar de varias formas:

  • Mediante un enunciado que explique la relación que existe entre las variables.
  • Mediante una expresión analítica, esto es, una ecuación que relacione las variables.
  • Mediante una tabla que contenga los valores de las variables, emparejados.
  • Mediante una gráfica, representada en unos ejes cartesianos con una escala adecuada. Sobre el eje horizontal (eje de abscisas) representamos la variable independiente x\;, y sobre el eje vertical (eje de ordenadas) la variable dependiente y\;. Cada punto de la gráfica es generado por una pareja de valores x\; e y\;, que son sus coordenadas (x,y)\;, su abcisa y su ordenada.

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Funciones dadas mediante enunciados

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Funciones dadas mediante expresiones analíticas

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Funciones dadas mediante tablas

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Representación de funciones mediante gráficas

La representación gráfica de una función nos permite visualizar el comportamiento de las dos variables.

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Procedimiento

  • Usaremos un sistema de ejes cartesianos con una escala adecuada.
    • Sobre el eje horizontal (eje de abscisas) representamos la variable independiente x\;.
    • Sobre el eje vertical (eje de ordenadas) la variable dependiente y\;.
  • Cada punto de la gráfica es generado por una pareja de valores x\; e y\;, que son sus coordenadas (x,y)\;, su abscisa y su ordenada.

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Reconocer relaciones funcionales y no funcionales

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Dominio e imagen de una función

  • El conjunto de valores de la variable independiente, x\;, para los que hay un valor de la variable dependiente, y\;, se llama dominio de definición de la función. Se denota Dom_f\;.
  • El conjunto de valores que toma la variable independiente, y\;, se llama imagen, recorrido o rango de la función. Se denota Im_f\;.
  • Si un punto (x,y) pertenece a la gráfica de la función entonces se dice que y es la imagen de x y también que x es la antiimagen de y.

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Variables discretas y continuas

En una función, la variable independiente puede ser:

  • Continua: Si toma valores en intervalos. En consecuencia, siempre toma infinitos valores. La gráfica de la función estará formada por trazos.
  • Discreta: Si los valores que toma la variable están separados (no toma valores en ningún intervalo). Puede tomar un número finito o infinito de valores. La gráfica de la función estará formada por puntos separados.

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Expresión analítica de una función

La expresión analítica de una función es una ecuación que relaciona la variable dependiente con la variable independiente.

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Ejemplo: Expresión analítica de una función 

Un rectángulo mide 2 cm más de largo que de ancho.

  1. Halla la expresión analítica de la función que relaciona su área con su lado menor. Halla su dominio.
  2. Halla la expresión analítica de la función que relaciona su perímetro con su lado menor. Halla su dominio.
  3. Haz una tabla de valores para cada función.
  4. Representa gráficamente las dos funciones anteriores.

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Dominio de una función dada por una expresión analítica

El dominio de una función puede estar determinado o limitado por diferentes razones:

  • Imposibilidad de realizar alguna operación con ciertos valores de x\; (Por ejemplo, si en la expresión analítica aparecen denominadores que se anulan o radicandos que toman valores negativos)
  • Contexto en el que se estudia la función (Por ejemplo, una función que relaciona lado y área de una figura plana, el lado no puede tomar valores negativos)
  • Por voluntad de quien propone la función (A veces nos puede interesar estudiar sólo un trozo de la función).

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Ejemplos: Dominio de una función dada por una expresión analítica

Halla el dominio de las funciones:
a) y=x-3 \ , \quad x \in [-1,1]\;\!
b) y=\cfrac{1}{x-1}
c) y=\sqrt{x}
d) A=l^2\; (Área de un cuadrado de lado l\;)

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Puntos de corte con los ejes de una función

Los puntos de corte con los ejes de una función son los puntos de la gráfica que pertenecen a los ejes de coordenadas:

  • Puntos de corte con el eje de abscisas (eje X): Son aquellos puntos de la función en los que la variable dependiente, y\;, toma el valor cero.
  • Punto de corte con el eje de ordenadas (eje Y): Es aquel punto de la función en el que la variable independiente, x\;, toma el valor cero.

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Signo de una función

  • Una función decimos que es positiva cuando la variable dependiente toma valores positivos y decimos que es negativa cuando toma valores negativos.
  • El estudio del signo de una función consistirá en determinar para qué valores de la variable independiente la función es positiva o negativa.

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Ejercicios

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Ejercicios resueltos: Interpretación de gráficas

La siguiente gráfica describe el vuelo de un águila desde que sale del nido hasta que vuelve a él con una presa que caza durante el trayecto.

a) ¿Cuáles son las variables relacionadas?
b) ¿Qué representa cada cuadrito en cada eje?
c) ¿A qué altura se encuentra el nido?
d) ¿Cuánto dura el vuelo y cuando caza a la presa?
e) ¿Qúe altura máxima alcanza el águila en su vuelo?. ¿Y la mínima?
f) ¿Qué ocurre entre el segundo 50 y 80?

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Ejercicio resuelto: Variables discretas y continuas

Poner una anuncio por palabras cuesta una cantidad fija de 0.50 €, más 0.05 € por cada palabra.

a) Haz una tabla de la función "número de palabras-precio".
b) Representa gráficamente los resultados del apartado anterior.
c) ¿Cómo es la variable independiente: continua o discreta?
d) Encuentra su expresión analítica.

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Ejercicio resuelto: Dominio e imagen

1. Indica cuál de las gráficas siguientes representan una función. En caso de ser función, indica su dominio y su imagen.
a)Imagen:funcion1a.pngb)Imagen:funcion1b.pngc)Imagen:funcion1c.png

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