Plantilla:Identidades notables

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Los productos notables son unas identidades de ciertos productos de binomios que resultan útiles para abreviar los cálculos con expresiones algebraicas.

Productos notables

Cuadrado de una suma: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \;\!$

Cuadrado de una diferencia: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \;\!$

Suma por diferencia: $(a + b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2 \;\!$

Demostración:

Cuadrado de una suma:

$(a + b)^2 = (a+b) \cdot (a+b) = a^2+ab+ba+b^2 = a^2 + 2ab + b^2 \;\!$

Demostración visual del cuadrado de una suma Descripción:

Escena que demuestra geométricamente la fórmula del cuadrado de una suma

Cuadrado de una diferencia:

$(a - b)^2 = (a-b) \cdot (a-b) = a^2-ab-ba+b^2 = a^2 - 2ab + b^2 \;\!$

Demostración visual del cuadrado de una diferencia Descripción:

Escena que demuestra geométricamente la fórmula del cuadrado de una diferencia

Suma por diferencia:

$(a + b) \cdot (a-b) = a^2-ab+ba-b^2 = a^2 - b^2 \;\!$

Demostración visual de la suma por diferencia Descripción:

Escena que demuestra geométricamente la fórmula de la suma por diferencia

Ejemplos: Productos notables

Calcula:

a) $(5x-2)^2 \;\!$

b) $(2x-3)(2x+3) \;\!$

Solución:

a) $(5x-2)^2 = (5x)^2-2 \cdot (5x) \cdot 2+2^2=25x^2-20x+4 \;\!$

b) $(2x-3)(2x+3)=(2x)^2-3^2=4x^2-9 \;\!$

Suma al cuadrado Descripción:

Actividades para aprender y practicar con la identidad del cuadrado de una suma.

Diferencia al cuadrado Descripción:

Actividades para aprender y practicar con la identidad del cuadrado de una diferencia.

Suma por diferencia Descripción:

Actividades para aprender y practicar con la identidad de la suma por diferencia.

Identidades notables

Identidades notables (9'38") Sinopsis:

Productos notables. Ejemplos.

Cuadrado de un binomio (5'48") Sinopsis:

Fórmulas del cuadrado de una suma y de una diferencia.
Ejemplos::

a) $(x+3)^2\;$

b) $(2n-7m)^2\;$

Suma por diferencia (6'08") Sinopsis:

Fórmula de la suma por diferencia.
Ejemplos:

a) $(2x+3y)(2x-3y)\;$

b) $(\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2})\;$

c) $(x-a)(x+a)\;$

Ejercicio 1 (8'39") Sinopsis:

Desarrolla:

a) $(2x+3)^2\,$

b) $(3m+2n)^2\,$

c) $(3x^4-5)^2\,$

d) $(5x-\sqrt{7})^2\,$

Ejercicio 2 (9'11") Sinopsis:

Desarrolla:

a) $(4x+7y)(4x-7y)\,$

b) $(\sqrt{5}w-3z^5)(\sqrt{5}w+3z^5)\,$

c) $(2\sqrt{3}a-3\sqrt{5}b^3)(2\sqrt{3}a+3\sqrt{5}b^3)\,$

Ejercicio 3 (2'17") Sinopsis:

Desarrolla: $(3x+5y)^2\,$

Ejercicio 4 (4'23") Sinopsis:

Desarrolla: $(2x^3+9y^4)^2\,$

Ejercicio 5 (1'33") Sinopsis:

Desarrolla: $(7m-3c)^2\,$

Ejercicio 6 (5'44") Sinopsis:

Desarrolla: $(4K^2L-5K^6L^3)^2\,$

Ejercicio 7 (2'01") Sinopsis:

Desarrolla: $(5m^3+3n^4)\cdot(5m^3-3n^4)\,$

Ejercicio 8 (5'54") Sinopsis:

Desarrolla:

a) $(x+2)\cdot(x-2)\,$

b) $(x+\sqrt{2})\cdot(x-\sqrt{2})\,$

c) $(\cfrac{1}{4}+\cfrac{2x}{3})\cdot(\cfrac{1}{4}-\cfrac{2x}{3})\,$

d) $(3\sqrt{5}+4x)\cdot(3\sqrt{5}-4x)\,$

e) $(\cfrac{2a}{3}+\cfrac{2}{a})\cdot(\cfrac{2a}{3}-\cfrac{2}{a})\,$

Otras identidades de interés (para ampliar)

Tutorial 1 (Cubo de un binomio) (12'34") Sinopsis:

Cubo de una suma: $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\;$
Cubo de una diferencia: $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\;$

Ejemplos.

Tutorial 1b (Suma y diferencia de cubos) (8'18") Sinopsis:

Suma de cubos: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\;$
Diferencia de cubos: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\;$

Ejemplos.

Tutorial 1c (Trinomio al cuadrado) (3'37") Sinopsis:

Cuadrado de un trinomio: $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\;$

Ejemplos.

Tutorial 2a (Cubo de una suma) (6'00") Sinopsis:

Desarrollo del cubo de suma.

Tutorial 2b (Cubo de una diferencia) (5'48") Sinopsis:

Desarrollo del cubo de diferencia.

Tutorial 2c (Cuadrado de un trinomio) (7'16") Sinopsis:

Cuadrado de un trinomio.

Ejercicio 1 (9'47") Sinopsis:

Desarrolla los siguientes cuadrados de trinomios:

1a) $(x-y+z)^2\;$

1b) $(2x-3y+z)^2\;$

1c) $(2x+y-z)^2\;$

1d) $(2x+y-2z)^2\;$

1e) $(x-y-1)^2\;$

1f) $(2x+y+2)^2\;$

Ejercicio 2 (10'04") Sinopsis:

Desarrolla los siguientes cuadrados de trinomios:

3a) $(x^2-2x+3)(x^2-2x+3)\;$

3b) $(x^2-3x+3)(x^2-3x+3)\;$

3c) $(x^2-4x+2)(x^2-4x+2)\;$

3d) $(x^2+6x-5)(x^2+6x-5)\;$

Ejercicio 3 (18'11") Sinopsis:

Desarrolla los siguientes cuadrados y cubos:

6a) $(x+y+z)^2\;$

6b) $(x+y+1)^2\;$

6c) $(x-y-1)^2\;$

6d) $(x-y+z+1)^2\;$

6e) $(x-2y+z-1)^2\;$

6f) $(x+3y+z+3)^2\;$

6g) $(x+a)^3\;$

6h) $(2x+1)^3\;$

6i) $(3x+2)^3\;$

6j) $(x-1)^3\;$

6k) $(x-2)^3\;$

6l) $(2x-4)^3\;$

Ejercicios (para ampliar)

Ejercicio 1 (8'42") Sinopsis:

a) Sabiendo que $a+b=5\;$ y que $a \cdot b = 7\;$ , halla $a^2+b^2\;$ .

b) Sabiendo que $\left(a+\cfrac{1}{a}\right)^2=3\;$ , halla $a^3+\cfrac{1}{a^3}\;$ .

Ejercicio 2 (10'41") Sinopsis:

a) Efectúa: $30001^2-30000^2\;$ .

b) Halla la sexta potencia de $\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}$ .

c) Sabiendo que $a+b=\sqrt{5}\;$ y que $a \cdot b = 3\;$ , halla $(a-b)^2\;$ .

Ejercicio 3 (5'29") Sinopsis:

a) Reducir: $\cfrac{(3x+4y)^2-(3x-4y)^2}{xy}$ .

b) Efectúa: $(a+2)(a-2)(a^2-2a+4)(a^2+2a+4)+64\;$ .

Ejercicio 4 (6'16") Sinopsis:

Halla: $P=\cfrac{(3y)^2}{x^2}+\cfrac{y^3}{x^3}+\cfrac{2x}{y}$ , sabiendo que $\cfrac{yx}{2xy-(x+y)^2}=-\cfrac{1}{2}$ .

Ejercicio 5 (10'54") Sinopsis:

a) Sabiendo que $a+b=6\;$ y que $a^2+b^2 = 30\;$ , halla $R=\cfrac{a^2}{b}+\cfrac{b^2}{a}\;$ .

b) Si $(a+b+c+d)^2=4(a+b)(c+d)\;$ , calcula $\sqrt[2(a+b)]{4^{c+d}}$

Ejercicio 6 (5'38") Sinopsis:

Hallar $M=a^3+\cfrac{1}{a^3}\;$ sabiendo que $a^2-3a+1=0\;$ .

Productos notables

Actividad: Productos notables

Calcula:

a) $(3x+5)^2 \;\!$

b) $(x-2)(x+2) \;\!$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) expand (3x+5)^2

b) expand (x-2)*(x+2)

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Identidades_notables"

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