Figuras semejantes (2º ESO)

De Wikipedia

Revisión de fecha 06:33 17 sep 2017; Ver revisión actual
← Revisión anterior | Revisión siguiente →

Menú:

Enlaces internos	Para repasar	Para ampliar	Enlaces externos
Indice Descartes Manual Casio			WIRIS Calculadora

Tabla de contenidos

1 Figuras semejantes
- 1.1 Ejercicios propuestos
2 Relación entre las áreas y los volúmenes de dos figuras semejantes
- 2.1 Ejercicios propuestos

(Pág. 194)

Figuras semejantes

Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma aunque sus tamaños u orientación sean diferentes. El tener la misma forma lo expresaremos matemáticamente diciendo que:
- Los segmentos correspondientes (homólogos), de una y otra figura, son proporcionales.
- Sus ángulos correspondientes son iguales.
Al ser los segmentos homólogos proporcionales, se cumple que la longitud de uno de ellos se obtiene multiplicando la longitud del correspondiente por una cantidad fija, llamada razón de semejanza.

Figuras semejantes Descripción:

Actividades para que puedas aprender los concepto de semejanza y de razón de semejanza. También podrás aprender a construir figuras semejantes a una dada.

Ejemplo 1: Figuras semejantes

Tenemos dibujado en un papel un rectángulo de dimensiones 12 cm x 8 cm. Hacemos una fotocopia reducida y obtenemos otro rectángulo de dimensiones 3 cm x 2 cm.

a) Comprueba que son semejantes y calcula la razón de semejanza.

b) Calcula el procentaje de reducción aplicado en la fotocopia.

Solución:

Solución:

a) Razón de semejanza:

Si dividimos las longitudes del rectángulo pequeño entre las correspondientes del grande, obtenemos:

$\cfrac{3}{12}=\cfrac{2}{8}=0.25$

Por tanto la razón de semejanza es 0.25.

Observa como los dos rectángulos tienen todos sus ángulos de 90º, es decir, la reducción no ha afectado a los ángulos.

b) Porcentaje:

La razón de semejanza puede expresarse en porcentaje:

$0.25 \cdot 100= 25%\;$

Por tanto la fotocopia es una reducción del 25%.

Ejemplo 2: Figuras semejantes

Dos triángulos semejantes tienen una razón de semejanza de 0.75. Si los lados del mayor miden 12, 8 y 16 cm, respectivamente, ¿cuánto miden los lados del menor?

Solución:

Solución:

Llamemos a, b y c, a los lados del triángulo mayor, y a´, b´ y c´, a los del menor.

Sabemos que a=12 cm, b=8 cm y c=16 cm.

Como la razón de semejanza es 0.75, al dividir los lados del triángulo mayor entre sus correspondientes del menor, el resultado deberá ser 0.75:

$\cfrac{a'}{a}=\cfrac{b'}{b}=\cfrac{c'}{c}=0.75$

Entonces:

$\cfrac{a'}{12}=0.75 \ \rightarrow \ a'=12 \cdot 0.75=9~ cm$

$\cfrac{b'}{8}=0.75 \ \rightarrow \ b'=8 \cdot 0.75=6~ cm$

$\cfrac{c'}{16}=0.75 \ \rightarrow \ c'=16 \cdot 0.75=12~ cm$

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Figuras semejantes

(Pág. 195)

1, 2

(Pág. 196)

Relación entre las áreas y los volúmenes de dos figuras semejantes

Propiedades

Si la razón de semejanza entre dos figuras es $k\;$ , entonces la razón entre sus áreas es $k^2\;$ y entre sus volúmenes, $k^3\;$ .

Ejemplos: Relación entre las áreas y los volúmenes de dos figuras semejantes

Comprueba que si un cuadrado tiene 5 cm de lado y el de otro cuadrado mide el doble, 10 cm, entonces el área de éste es el cuádruple de la del primero.
Comprueba que si un cubo tiene 5 cm de arista y la de otro cubo mide el doble, 10 cm, entonces el volumen de éste es 8 veces la del primero.

Solución:

Solución 1:

En efecto, como la razón entre los lados es $k=2\;$ , la razón entre sus áreas es $k^2=2^2=4\;$ .