Números complejos: Operaciones (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Operaciones con números complejos en forma binómica
2 Representación gráfica de las operaciones con complejos en forma binómica
3 Propiedades de las operaciones con números complejos
4 Ejercicios
- 4.1 Ejercicios propuestos

(Pág. 150)

Operaciones con números complejos en forma binómica

Suma: $\,(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$

Resta: $\,(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$

Multiplicación: $\,(a + bi) (c + di) = ac + bci + adi + bd i^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i$

División: $\,\frac{(a + bi)}{(c + di)} = \frac{(a + bi) (c - di)}{(c + di) (c - di)} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i\,$ , siempre que $c+di\,$ no sea nulo.

Ejemplos: Operaciones con complejos en forma binómica

Efectúa las siguientes operaciones:

1. $\,(3 + 2i) + (5 + 6i)$

Solución:

Solución:

$\,(3 + 2i) + (5 + 6i)=3 + 5 + 2i + 6i=8 + 8i$

2. $\,(6 - 5i) - (4 - 7i)$

Solución:

Solución:

$\,(6 - 5i) - (4 - 7i)=6-4-5i+7i=2+2i$

3. $\,(3 + 4i) \cdot (2 - 5i)$

Solución:

Solución:

$\,(3 + 4i) \cdot (2 - 5i)=6-15i+8i-20i^2=6-7i+20=26-7i$

4. $\,\frac{(5 - 3i)}{(4 + 2i)}$

Solución:

Solución:

$\,\frac{(5 - 3i)}{(4 + 2i)}=\frac{(5 - 3i)(4-2i)}{(4 + 2i)(4-2i)}=\frac{(20-10i-12i+6i^2)}{(16-8i+8i-4i^2)}=$

$~~=\frac{(20-6-10i-12i)}{(16+4)}=\frac{14}{20}-\frac{22}{20}i$

Operaciones con complejos en forma binómica

Tutorial 1a: Suma (8´53") Sinopsis:

Definición de suma de números complejos en forma binómica.
Representación gráfica.
Ejemplos.
Propiedades.

Tutorial 1b: Producto (11´26") Sinopsis:

Definición de producto de números complejos en forma binómica.
Ejemplos.
Propiedades.

Tutorial 1c: Cociente (7´45") Sinopsis:

Definición de cociente de números complejos en forma binómica.
Ejemplos.

Tutorial 1d: Potenciación (3´50") Sinopsis:

Las potencias de números complejos hacen uso de la fórmula del binomio de Newton. No obstante, son mucho más fáciles si se realizan en forma polar como se verá en otro apartado de este tema.

Ejercicio 1 (1´47") Sinopsis:

Dados los complejos $z_1=5-3i\;$ y $z_2=-4+2i\;$ , halla:

a) $z_1+ z_2\;$

b) $z_1- z_2\;$ .

Ejercicio 2 (4´53") Sinopsis:

Dados los complejos $z_1=7-i\;$ y $z_2=3-5i\;$ , halla:

a) $z_1 \cdot z_2\;$

b) $z_1 : z_2\;$ .

Ejercicio 3 (16´47") Sinopsis:

Dados los complejos $z_1=2+3i\;$ y $z_2=4-5i\;$ , halla:

a) $5z_1+ 7z_2\;$

b) $z_1- \overline{z_2}\;$

c) $z_1 \cdot z_2\;$

d) $\overline{z_1} :z_2\;$

e) $|\overline{z_1+z_2}|\;$

Ejercicio 4 (9´48") Sinopsis:

Dados los complejos $z_1=-3+4i\;$ y $z_2=5-2i\;$ , halla:

a) $(\overline{z_1})^2 - (z_2)^3\;$

b) $z_1 : z_2\;$ .

Ejercicio 5 (4´15") Sinopsis:

Dados los complejos $z_1=3+2i\;$ y $z_2=2-i\;$ , halla:

a) $z_1+ z_2\;$

b) $z_1- z_2\;$ .

Ejercicio 6 (7´21") Sinopsis:

Dados los complejos $z_1=3+2i\;$ y $z_2=2-i\;$ , halla:

a) $z_1 \cdot z_2\;$

b) $z_1 : z_2\;$ .

Ejercicio 7 (7´55") Sinopsis:

Dados los complejos: $z=5+7i\;$ y $z'=-\sqrt{3}+2i\;$ , calcula:

a) $z+z'\;$

b) $z-z'\;$

c) $z \cdot z' \cdot z\;$

d) $(z')^{-1}\;$

e) $2z-5\overline{z}\;$

f) $z \cdot z'\;$

Ejercicio 8 (9´02") Sinopsis:

Calcula:

a) $(\cfrac{3}{2}+i)+(-2+\cfrac{1}{2}\,i)\;$

b) $(\sqrt{3}+2i)+(1-5i)\;$

c) $(-3-\cfrac{1}{2}\,i)-(\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{7}\,i)\;$

d) $(6+4i)\cdot(-1-2i)\;$

e) $-3i \cdot (2i+3)\;$

f) $(\sqrt{3}+2i):(1-5i)\;$

g) $-3i : (2i+3)\;$

h) $\left( \cfrac{2i^5+3i^{17}}{1+i} \right)^2\;$

Ejercicio 9 (13´39") Sinopsis:

Dados $z=1-3i\;$ , $w=-3+2i\;$ y $t=-2i\;$ , calcula:

a) $z \cdot w \cdot t\;$

b) $z \cdot t -w \cdot (t+z)\;$

c) $\cfrac{w}{z}\cdot t\;$

d) $\cfrac{2z-3t}{w}\;$

Ejercicio 10 (6´39") Sinopsis:

Calcula las potencias de exponente 2, 3 y 4 de los siguientes números complejos:

a) $2+3i\;$

b) $-2+i\;$

Ejercicio 11 (1´12") Sinopsis:

Suma: $(5 + 2i) +(3 - 7i)\;$

Ejercicio 12 (1´48") Sinopsis:

Resta: $(2 - 3i)-(6 - 18i)\;$

Ejercicio 13 (5´27") Sinopsis:

Multiplica: $(1 - 3i) \cdot (2 + 5i)\;$

2 ejercicios (Suma) (5´55") Sinopsis:

Videotutorial.

3 ejercicios (Producto) (9´19") Sinopsis:

Videotutorial.

3 ejercicios (Producto) (7´05") Sinopsis:

Videotutorial.

2 ejercicios (Cociente) (6´46") Sinopsis:

Videotutorial.

3 ejercicios (Cociente) (8´11") Sinopsis:

Videotutorial.

3 ejercicios (Cociente) (7´19") Sinopsis:

Videotutorial.

2 ejercicios (Potencia) (6´49") Sinopsis:

Videotutorial.

Operaciones con complejos en forma binómica

Actividad Descripción:

Suma, resta y producto de números complejos en forma binómica.

Suma y resta:

Autoevaluación Descripción:

Suma y resta de números complejos en forma binómica.

Multiplicación:

Actividad Descripción:

Producto números complejos en forma binómica.

Autoevaluación 1a Descripción:

Producto de un número real o un imaginario puro por un número complejo en forma binómica.

Autoevaluación 1b Descripción:

Producto de números complejos en forma binómica.

Representación gráfica de las operaciones con complejos en forma binómica

Representación gráfica de las operaciones con complejos en forma binómica (14´54") Sinopsis:

Ejemplos de suma, resta, multiplicación y división de números complejos en forma binómica. Interpretación gráfica.

Representación gráfica de las operaciones con complejos en forma binómica

Suma Descripción:

En esta escena podrás ver como se representa la suma de números complejos en forma binómica.

Resta Descripción:

En esta escena podrás ver como se representa la resta de números complejos en forma binómica.

Multiplicación Descripción:

En esta escena podrás ver como se representa la multiplicación de números complejos en forma binómica.

División Descripción:

En esta escena podrás ver como se representa la división de números complejos en forma binómica.

Autoevaluación Descripción:

Suma y resta de números complejos de forma gráfica.

(Pág. 151)

Propiedades de las operaciones con números complejos

Propiedades

Propiedades de la suma:
- Asociativa: $z_1+(z_2+z_3)=(z_1+z_2)+z_1\;$
- Conmutativa: $z_1+z_2=z_2+z_1\;$
- Existencia de elemento neutro: El 0 es el elemento neutro de la suma.
- Existencia de opuesto: Todo número complejo, $a+bi\,$ , tiene un opuesto, $-a-bi\,$

Propiedades del producto:
- Asociativa: $z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3)=(z_1 \cdot z_2) \cdot z_1$
- Conmutativa: $z_1 \cdot z_2=z_2 \cdot z_1$
- Existencia de elemento neutro: El 1 es el elemento neutro del producto.
- Existencia de inverso: Todo número complejo, $a+bi\,$ , distinto de 0, tiene inverso, $\cfrac{1}{a+bi}$ :

$\cfrac{1}{a+bi}=\cfrac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}=\cfrac{a-bi}{a^2+b^2}=\cfrac{a}{a^2+b^2}-\cfrac{b}{a^2+b^2}i$

Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: $z_1\cdot(z_2+z_3)=z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3$

Ejercicios

Ejercicios resueltos

a) Obtener un polinomio de segundo grado cuyas raíces sean $5-2i\;$ y $5+2i\;$ .

b) ¿Cuánto ha de valer $x\;$ para que $(2x+i)^2\;$ sea imaginario puro?

Solución:

a) $P(x)= [x-(5-2i)][x-(5+2i)]= \cdots = x^2-10x+29\;$

b) Hay que desarrollar el cuadrado e igualar la parte real a cero.

Solución: $x=\pm 2$

Ejercicios: Operaciones con complejos

Ejercicio 1 (17´15") Sinopsis:

Dados los complejos $z_1=3-2i\;$ , $z_2=1-4i\;$ , $z_3=1+i\;$ y $z_4=i\;$ , calcula:

a) $z_4+z_4^2+z_4^3+z_4^4\;$ .

b) $z_3^2\;$

c) $z_1 \cdot z_2\;$

d) $z_4^{130}\;$

e) $z_1 : z_2\;$

f) $|\overline{z_1}|\;$

Ejercicio 2 (7´40") Sinopsis:

Dados los complejos $z_1=31-i\;$ y $z_2=3-i\;$ , halla el módulo de $\overline{\left( \cfrac{z_2}{z_1} \right)}\;$ .

Ejercicio 3 (8´46") Sinopsis:

Calcula: $\cfrac{i^{243}+i^{14}}{i^{221}+i^{200}}$ .

Ejercicio 4 (8´53") Sinopsis:

a) Halla el valor de "x" sabiendo que $5+xi=6-3i\;$ .

b) Sea $M=(3+2xi)^2\;$ .¿Qué valor debe tomar "x" para que M sea imaginario puro? ¿Y para que M sea un número real?

Ejercicio 5 (2´25") Sinopsis:

Calcula "m" y "n" para que sea cierta la igualdad $(3m+2i)-(5-2ni)=2-6i\;$ .

Ejercicio 6 (10´41") Sinopsis:

Halla dos números complejos cuyo cociente sea imaginario puro, su suma sea 5 y el módulo del dividendo sea doble del módulo del divisor.

Ejercicio 7 (4´01") Sinopsis:

Calcula el valor de "x" de manera que $\cfrac{x+i}{1-i}$ sea:

a) Igual a 1+2i.

b) Un número real.

c)Un número imaginario puro.

Ejercicio 8 (4´59") Sinopsis:

Dados los dos números complejos, 2-mi y 3-ni, halla los valores de "m" y "n" de manera que el producto de los complejos dados sea 8-4i.

Ejercicio 9 (14´49") Sinopsis:

Halla una ecuación de segundo grado que tengan como raíces a: $2+3i\;$ y $2-3i\;$ .
Resuelve: $z^2+z+1=0\;$ en el conjunto de los números complejos.

Ejercicio 10 (14´48") Sinopsis:

Calcula: a) $i^{17}\;$ ; b) $i^{210}\;$ ; c) $i^{160}\;$
Halla el valor de $k\;$ para que \cfrac{2-ki}{k-i} sea: a) imaginario puro; b) real.
Halla el valor de $m\;$ y $n\;$ para que $(2+mi)+(n+5i)=7-2i\;$
Halla el valor de $a\;$ y $b\;$ para que $a-3i=\cfrac{2+bi}{5-3i}\;$