Plantilla:Propiedades de los logaritmos

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Propiedades de los logaritmos:

1: Igualdad y orden:

a) $P \ne Q \Rightarrow log_a \ P \ne log_a \ Q$ o equivalentemente,

$log_a \ P = log_a \ Q \Rightarrow P=Q$

b) $P < Q \Rightarrow log_a \ P < log_a \ Q, \quad si~ a>1$

c) $P < Q \Rightarrow log_a \ P > log_a \ Q, \quad si~ 0<a<1$

2: Logaritmo de la base:

a) $log_a \ a=1$

b) $log_a \ a^n=n$

c) $log_a \ 1=0$

3: Logaritmo de números negativos o nulos:

Si $P \le 0$ , entonces $log_a \ P$ no existe.

4: Logaritmo de un producto:

$log_a \ (P \cdot Q)=log_a \ P + log_a \ Q$

5: Logaritmo de un cociente:

$log_a \ \cfrac{P}{Q}=log_a \ P - log_a \ Q$

6: Logaritmo de una potencia:

$log_a \ P^n=n \cdot log_a \ P$

7: Logaritmo de una raíz:

$log_a \ \sqrt[n]{P}=\cfrac{1}{n} \cdot log_a \ P$

8: Cambio de base:

$log_a \ P=\cfrac{log_b \ P}{log_b \ a}$

Ejercicios resueltos: Propiedades de los logaritmos

Sabiendo que $log_2 \ A=3.5 \ y \ log_2 \ B=-1.4$ , calcula:

a) $log_2 \ \cfrac{A \cdot B}{4}$

b) $log_2 \ \cfrac{2 \sqrt{A}} {B^3}$

Solución:

a) $log_2 \ \cfrac{A \cdot B}{4} \begin{matrix}~_{[5]}~ \\ ~=~ \\ ~ \end{matrix} log_2 \ (A \cdot B) - log_2 \ 4=$

$\begin{matrix}~_{[4]}~ \\ ~=~ \\ ~ \end{matrix} log_2 \ A + log_2 \ B - log_2 \ 4=3.5-1.4-2=0.1$

b) $log_2 \ \cfrac{2 \sqrt{A}} {B^3} \begin{matrix}~_{[5]}~ \\ ~=~ \\ ~ \end{matrix} log_2 \ 2 \sqrt{A} - log_2 \ B^3 =$

$\begin{matrix}~_{[4]}~ \\ ~=~ \\ ~ \end{matrix} log_2 \ 2+ log_2 \sqrt{A} - log_2 \ B^3=1+ log_2 \ A^{\frac{1}{2}} - log_2 B^3=$

$\begin{matrix}~_{[6]}~ \\ ~=~ \\ ~ \end{matrix} 1+ \cfrac{1}{2} ~log_2 \ A - 3 \, log_2 \ B=1+ \cfrac{1}{2} \cdot 3.5 - 3 \cdot (-1.4) = 6.95$

Propiedades de los logaritmos

Tutorial 1 (25'59") Sinopsis:

Tutorial que explica la definición de logaritmo y realiza el cálculo de algunos logaritmos exactos (resultado racional) para comprender el significado de esta operación matemática.

00:00 a 03:10: Introducción a logaritmo. Ejercicios de repaso.
03:10 a 06:25: Propiedades Básicas.
06:25 a 08:30: Propiedad: Logaritmo de un Producto. Demostración.
08:30 a 09:20: Propiedad: Logaritmo de una Potencia. Demostración.
09:20 a 10:30: Propiedad: Logaritmo de un Cociente. Demostración.
10:30 a 13:45: Propiedad: Cambio de Base. Demostración.
13:45 a 25:59: Ejercicios de Logaritmos.

Tutorial 2 (13´22") Sinopsis:

Demostración de las propiedades de los logaritmos.

Tutorial 3 (12´43") Sinopsis:

Definición del logaritmo de un número. Propiedades. Ejemplos

Identidad fundamental del logaritmo (7´58") Sinopsis:

Identidad fundamental del logaritmo. Ejemplos de aplicación.

Logaritmo de un producto (15'28") Sinopsis:

Demostración de la propiedad del logaritmo de un producto. Ejemplos de aplicación.

Logaritmo de un cociente (12'34") Sinopsis:

Demostración de la propiedad del logaritmo de un cociente. Ejemplos de aplicación.

Logaritmo de una potencia (10'57") Sinopsis:

Demostración de la propiedad del logaritmo de una potencia. Ejemplos de aplicación.

Logaritmo de una raíz (15'24") Sinopsis:

Demostración de la propiedad del logaritmo de una raíz. Ejemplos de aplicación.

Desarrollo de logaritmos usando las propiedades:

Ejercicio 1 (2´34") Sinopsis:

Desarrolla: $log_4 \, 8^2 \;$

Ejercicio 2 (4´24") Sinopsis:

Desarrolla: $ln \, 5x^3yz^4 \;$

Ejercicio 3 (4´38") Sinopsis:

Desarrolla: $ln \, \cfrac{xy^2}{e^3z^4} \;$

Ejercicio 4 (4´47") Sinopsis:

Desarrolla: $log_e \, \sqrt[4]{e^3x^5} \;$

Ejercicio 5 (3´43") Sinopsis:

Desarrolla: $log_3 \, \cfrac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[3]{y}} \;$

Ejercicio 6 (5´28") Sinopsis:

Desarrolla: $log_5 \, \cfrac{5^x(1-x)}{y^x(x-y^2)} \;$

Expresar como un solo logaritmo:

Ejercicio 1 (2´07") Sinopsis:

Expresar como un solo logaritmo: $2 log \, x - 3 log \, y$

Ejercicio 2 (2´15") Sinopsis:

Expresar como un solo logaritmo: $2 ln \, 3 + y ln \, x$

Ejercicio 3 (2´54") Sinopsis:

Expresar como un solo logaritmo: $ln \, 4 + 2x$

Ejercicio 4 (3´59") Sinopsis:

Expresar como un solo logaritmo: $2+log_6 \, x - log_6 \, z$

Ejercicio 5 (2´30") Sinopsis:

Expresar como un solo logaritmo: $log_7 \, x - log_7 \, y - log_7 \, z$

Varios:

Ejercicio 1 (3´19") Sinopsis:

Si $a=ln \, 2$ y $b=ln \, 3$ , expresa $ln \, \cfrac{8}{9}$ en términos de a y b.

Ejercicio 2 (5´13") Sinopsis:

Si $ln \, A=5$ , $ln \, B=-2$ y $ln \, C=-7$ , encuentra el valor numérico de la expresión $ln \, \cfrac{A^3 B^4}{C^6}$ .

Ejercicio 3 (3´23") Sinopsis:

Escribe como un solo logaritmo: $\cfrac{1}{3}\,log\,A+\cfrac{1}{2}\,\left( log\,B - log\,C \right)$ .

Ejercicio 4 (10´38") Sinopsis:

a) Hallar "m" sabiendo que $log_m \, 5=2\;$ .

b) Hallar "x" sabiendo que $log_{(x-1)} \, (x+5)=2\;$ .

b) Sabiendo que $log \, 2=a\;$ y que $log \, 2=b\;$ , calcula $log \, 360\;$ .

Ejercicio 5 (15´11") Sinopsis:

a) Hallar "x" sabiendo que $4^{log_x \, 6 \, \cdot \, log_6 \, y \, \cdot \, log_y \, x^4}=x^{log_x \, 4^x}\;$ .

b) Sabiendo que $log \, ab^2=1\;$ y que $log \, a^3b=1\;$ , halla $a \cdot b\;$ .

Ejercicio 6 (13´34") Sinopsis:

a) Reduce: $P=\cfrac{1}{1+log_a \, bc}+ \cfrac{1}{1+log_b \, ac}+\cfrac{1}{1+log_c \, ab}$ .

b) Hallar "x" si $1+2\,log \, x - log \, (x+2)=0\;$ .

Ejercicio 7 (9´34") Sinopsis:

Desarrolla los siguientes logaritmos:

$log \, \cfrac{5z^3u^2}{2x^7}$
$log \, \cfrac{1}{2z^5 \sqrt{u}}$
$log_6 \, \cfrac{2x+3z}{u^5}$
$ln \, \sqrt[3]{\cfrac{x}{z^2u^7}}$
$log_k \, \sqrt{ k \, \sqrt {k\, {\sqrt{k}}}}$

Ejercicios 8 (8´45") Sinopsis:

Reduzca las siguientes expresiones a un solo logaritmo:

$2 \, log \, x - 3 \, log \, z$
$\cfrac{1}{3} \; log \, (x+z) - \cfrac{1}{2} \; log \, (x-z)$
$2 - 3 \, log \, x + \cfrac{1}{5} \; log \, z$
$3 - \cfrac{1}{2} \, log_2 \, (x-2z) - 6 \, log_2 \, x$
$1 + 3 \, ln \ x^2 - \cfrac{2}{5} \; ln \, (1+x)$

Ejercicio 9 (7´13") Sinopsis:

Ejercicios:

Expresa $log \, \cfrac{0.016^5 \cdot 20}{\sqrt{128}}$ en función de log 2.
Expresa $log \, \cfrac{12 \sqrt[3]{36}}{\sqrt{0.09^3 \cdot 160}}$ en función de log 2 y log 3.

Ejercicio 10 (6´18") Sinopsis:

Resuelve:

Si un número se multiplica por 49, su logaritmo (en base desconocida) aumenta en 2 unidades. Halla la base.
Resuelve la ecuación $log_x \, 12 + log_x \, 3 = 2$
Determina el menor entero que satisface la condición $2.43^x > 13 \;$
Determina el mayor real que satisface la condición $2.51^x \le 7 \;$