Vectores: Definición y operaciones (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Vectores
2 Operaciones con vectores

(Pág. 172)

Vectores

Introducción al concepto de vector (6´11") Sinopsis:

Vídeo que nos introduce el concepto de vector con un ejemplo gráfico que representa el desplazamiento de una persona a lo largo de un plano.

Vectores fijos

Un vector fijo es un segmento orientado que queda determinado por un punto origen, A y otro punto extremo, B. Lo simbolizamos $\overrightarrow{AB}$ .

Características de un vector:

El módulo del vector $\overrightarrow{AB}$ es la longitud del segmento $\overline{AB}$ , se representa por $|\overrightarrow{AB}|$ .
La dirección del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquiera de sus paralelas.
Cada dirección admite dos sentidos opuestos: el que va de A a B y el que va de B a A. Gráficamente se representa con una punta de flecha.

Vectores equipolentes. Vectores libres

Dos vectores, $\vec{AB}$ y $\vec{CD}$ , son equipolentes cuando tienen el mismo módulo, dirección y sentido (aunque sus orígenes y extremos sean distintos). Lo simbolizaremos $\vec{AB}=\vec{CD}$

Dado un vector, existen infinitos vectores equipolentes a él. Cuando queremos hacer uso de un vector podemos elegir uno de esos infinitos vectores iguales a él y utilizarlo como representante del vector. Al conjunto de todos los vectores equipolentes a uno dado se le llama vector libre. Un vector libre lo denotaremos mediante una letra con una flecha: $\vec{u} \, , \vec{v} \, , ...$

Vectores equipolentes

$\vec{u}=\vec{v}=\vec{w}$

Vector fijo y vector libre (6´11") Sinopsis:

Conceptos de vector fijo y vector libre del plano. Nota: En el vídeo se habla de las coordenadas del vector que une dos puntos que se estudiarán en otro tema.

Vectores equipolentes Descripción:

En esta escena podrás ver un conjunto de vectores equipolentes.

Vectores libres Descripción:

Cuenta los vectores libres que hay en la escena.

Vector nulo

El vector nulo es aquel cuyo origen y extremo coinciden y, por tanto, tiene módulo cero. Lo simbolizaremos $\vec{0}$ .

Vectores opuestos

Dos vectores, $\vec{u}$ y $\vec{v}$ , son opuestos si tienen el mismo módulo, la misma dirección, pero sentidos opuestos. Lo simbolizaremos $\vec{u}=-\vec{v}$ .

Vectores opuestos: $\vec{u}=-\vec{v}$

Operaciones con vectores

Operaciones con vectores (5´24") Sinopsis:

Suma y resta de vectores (método gráfico).
Multiplicación de un vector por un escalar (método gráfico).
Ejemplos y ejercicios.

Producto de un vector por un número

El producto de un número real $k\,$ por un vector $\vec{v}$ es otro vector $k\vec{v}$ que tiene las siguientes características:

Módulo: $|k\vec{v}|=|k| \cdot |\vec{v}|$ ( $|k|\,$ es el valor absoluto del número real $k\,$ )
Dirección: la misma que $\vec{v}$ .
Sentido: el mismo que $\vec{v}$ si $k>0\,$ y opuesto si $k<0\,$ .

Producto de un vector por un número Descripción:

En esta escena podrás ver como se multiplica un vector por un número o escalar.

$\vec{v}=2 \vec{u} \qquad \vec{w}=- \frac{1}{2} \vec{u}$

Suma y resta de vectores

Suma de vectores:

Dados dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ , para sumarlos se elige un representante del vector $\vec{v}$ que tenga como origen el extremo de $\vec{u}$ . De esta manera el vector suma será otro vector, $\vec{u} + \vec{v}$ , que tendrá como origen el origen de $\vec{u}$ y por el extremo, el extremo de $\vec{v}$ .

Suma de vectores Descripción:

En esta escena podrás ver como se suman vectores.

Resta de vectores:

Para restar dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ , sumamos al vector $\vec{u}$ el opuesto de $\vec{v}$ . Es decir, $\vec{u} - \vec{v}=\vec{u} + (- \vec{v})$ .

Resta de vectores Descripción:

En esta escena podrás ver como se restan vectores.

Método del paralelogramo:

Si consideramos el paralelogramo que resulta de los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ y las paralelas auxiliares, observamos que la suma y la resta de ambos vectores constituyen gráficamente las diagonales mayor y menor respectivamente.

Suma de vectores (2 métodos) Descripción:

En esta escena podrás ver como se suman vectores por dos métodos geométricos.

Combinación lineal de vectores

Dados dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ y $a,b \in \mathbb{R}$ , el vector $\vec{w}=a \cdot \vec{u}+ b \cdot \vec{v}$ se dice que es una combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$ .

En el gráfigo de la derecha tenemos un ejemplo en el que el vector $\vec{w}$ es combinación lineal de los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ , siendo los coeficientes $a=3\,$ y $b=2\,$ .

La definición anterior se puede extender a mas de dos vectores, así, por ejemplo, el vector

$\vec{w}=a \cdot \vec{u}+ b \cdot \vec{v}+ c \cdot \vec{v} \quad (a,b,c \in \mathbb{R})$

es combinación lineal de $\vec{u}$ , $\vec{v}$ y $\vec{z}$ .

Combinación lineal de vectores Descripción:

En esta escena podrás ver como se expresa un vector como combinación lineal de otros dos.

Cómo expresar gráficamente un vector como combinación lineal de otros dos

Procedimiento

Para expresar gráficamente el vector $\vec{w}$ como combinación lineal de los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ $(\vec{w}=a \cdot \vec{u}+ b \cdot \vec{v})$

Colocamos los tres vectores partiendo de un mismo punto.
A continuación, por el extremo de $\vec{w}$ trazamos paralelas a los otros dos vectores.
Donde estas paralelas corten a las prolongaciones de los vectores, tenemos los extremos del vector $a \cdot \vec{u}$ y $b \cdot \vec{v}$ .