Algunos límites importantes (1ºBach)

De Wikipedia

Revisión de fecha 19:01 12 ene 2009; Ver revisión actual
← Revisión anterior | Revisión siguiente →

Menú:

Enlaces internos	Para repasar o ampliar	Enlaces externos
Indice Descartes Manual Casio		WIRIS Geogebra Calculadoras

Suma de los términos de una progresión geométrica

Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica

Sea $a_n\;$ una progresión geométrica de razón $r\;$ y sea $S_n=\frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}$ la suma de sus n primeros términos

Si $0<\; \mid r \mid \; <1$ , entonces el límite de $S_n\;$ existe y su valor es:

$S_{\infty}=lim \ S_n = \frac{a_1}{1-r}$

Si $r\ge 1\;$ , entonces el límite de $S_n\;$ es $+\infty \;$ o $-\infty$ :

$S_{\infty}=lim \ S_n =\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}$

Si $r\le -1\;$ , entonces el límite de $S_n\;$ no existe.

Demostración:

Si $0<\; \mid r \mid \; <1$ , entonces

$lim \ r^n = 0 \;$ y también $lim \ a_1 r^n = 0$ .

(Por ejemplo, si $a 1 = 3$ y $r = 0.5$ , al multiplicar sucesivas veces 3 por 0.5, lo que equivale a dividir por 2, el resultado se aproxima cada vez más a cero.)

y por tanto

$S_{\infty}=lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\frac{0-a_1}{r-1}=\frac{-a_1}{r-1}=\frac{a_1}{1-r}$

Si $r>1\;$ , entonces

$lim \ r^n \; = +\infty$ y $lim \ a_1 r^n = \begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}$

(Por ejemplo, si $a 1 = 3$ y $r = 5$ , al multiplicar sucesivas veces 3 por 5, el resultado se aproxima cada vez más a $+\infty$ . Mientras que si $a 1 = - 3$ y $r = 5$ , al multiplicar sucesivas veces -3 por 5, el resultado se aproxima cada vez más a $-\infty$ )

y por tanto

$S_{\infty}= lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}$

Si $r<-1\;$ , entonces $a_1 r^n\;$ va alternando valores positivos y negativos, cada vez mayores en valor absoluto, de manera que a la sucesión $S_n\;$ también va a oscilar en signo y no tiene límite.

Si $r=-1\;$ , el caso es muy sencillo, porque la progresión quedaría:

$a_1,\ -a_1,\ a_1,\ -a_1,\ \cdots$

y la sucesión $S_n \;$ sería:

$a_1,\ 0,\ a_1,\ 0,\ \cdots$

que oscila y no tiene límite.

Si $r=1\;$ , la progresión quedaría constante:

$a_1,\ a_1,\ a_1,\ a_1,\ \cdots$ , .

y tendríamos que $S_n = a_1 n \;$ , cuyo límite es:

$S_{\infty}=lim \ S_n = S_n = lim \ a_1 n = \begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}$

El número e

El número áureo, $\phi \;$

La sucesión de Fibonacci y el número áureo

Si a partir de la sucesión de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...), construimos, por recurrencia, la sucesión $b_n=\cfrac{a_{n+1}}{a_n}$ , se cumple que:

$lim \ b_n=lim \ \cfrac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi = 1.618 \cdots$ (número áureo)

Demostración:

Lo siguiente no es una demostración, sino una comprobación:

En efecto, si en la sucesión de Fibonacci

$1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89, \cdots$

dividimos cada término entre el anterior, tenemos:

$\cfrac{1}{1},\ \cfrac{2}{1},\ \cfrac{3}{2},\ \cfrac{5}{3},\ \cfrac{8}{5},\ \cfrac{13}{8},\ \cdots$

que expresada con decimales nos da:

$1,\ 2,\ 1.5,\ 1.66,\ 1.6,\ 1.625,\ 1.615 \cdots \rightarrow \phi$

Video: La divina proporción. El número Phi. (6´)

Sinopsis:

Documental sobre la historia del número áureo, Phi $(\phi)\;$ y la divina proporción.

Video:

Click aquí si no se ve bien la escena

Click aquí para enlace desde servidor TIC

Web: [Phi, el número de oro Phi, el número de oro]

Descripción:

A lo largo de la historia, Phi, el número de oro o número áureo, ha representado, para las personas que lo han conocido, la belleza, la magia, la perfección, lo divino. ¿Por qué?. Página elaborada por D. Luis Nicolás Ortiz.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Algunos_l%C3%ADmites_importantes_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Números