Algunos límites importantes (1ºBach)
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Suma de los términos de una progresión geométrica
Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica
Sea una progresión geométrica de razón y sea la suma de sus n primeros términos
- Si , entonces el límite de existe y su valor es:
- Si , entonces el límite de es o :
- Si , entonces el límite de no existe.
- Si , entonces
(Por ejemplo, si a1 = 3 y r = 0.5, al multiplicar sucesivas veces 3 por 0.5, lo que equivale a dividir por 2, el resultado se aproxima cada vez más a cero.)
y por tanto
- Si , entonces
(Por ejemplo, si a1 = 3 y r = 5, al multiplicar sucesivas veces 3 por 5, el resultado se aproxima cada vez más a . Mientras que si a1 = − 3 y r = 5, al multiplicar sucesivas veces -3 por 5, el resultado se aproxima cada vez más a )
y por tanto
- Si , entonces va alternando valores positivos y negativos, cada vez mayores en valor absoluto, de manera que a la sucesión también va a oscilar en signo y no tiene límite.
- Si , el caso es muy sencillo, porque la progresión quedaría:
y la sucesión sería:
que oscila y no tiene límite.
- Si , la progresión quedaría constante:
y tendríamos que , cuyo límite es:
El número e
El número áureo,
La sucesión de Fibonacci y el número áureo
Si a partir de la sucesión de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...), construimos, por recurrencia, la sucesión , se cumple que:
Lo siguiente no es una demostración, sino una comprobación:
En efecto, si en la sucesión de Fibonacci
dividimos cada término entre el anterior, tenemos:
que expresada con decimales nos da:
Video: La divina proporción. El número Phi. (6´)
Documental sobre la historia del número áureo, Phi y la divina proporción.
Web: [Phi, el número de oro Phi, el número de oro]
A lo largo de la historia, Phi, el número de oro o número áureo, ha representado, para las personas que lo han conocido, la belleza, la magia, la perfección, lo divino. ¿Por qué?. Página elaborada por D. Luis Nicolás Ortiz.