Resolución de triángulos cualesquiera (1ºBach)

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Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro .

Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que es un diámetro, y además los ángulos y son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abarcan el mismo segmento . Por la definición de seno, se tiene

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:

Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.

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Notemos que el Teorema de Cosenos es equivalente al Teorema de Pitágoras cuando el ángulo γ es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando c es adyacente a dos ángulos agudos y cuando c es adyacente a un ángulo agudo y un obtuso.

Primer caso: c es adyacente a dos ángulos agudos.

Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece que c² = h² + u² de modo que h² = a² - (b-u)². Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos c² = u² + a² - b² + 2bu - u², es decir:

{{{fórmula}}}

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Por la definición de coseno, se tiene cos(γ) = (b-u)/a, por tanto

{{{fórmula}}}

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Sustituimos el valor de u en la expresión para c² y simplificamos: c² = a²-b² +2b (b-a cos(γ)), concluyendo

{{{fórmula}}}

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y terminando con esto la prueba del primer caso.

Segundo caso: c es adyacente a un ángulo obtuso.

Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevavamente c² = h² + u² pero en este caso h² = a² - (b+u)². Combinando ambas ecuaciones obtenemos c² = u² + a² − b² − 2bu − u² y de este modo:

{{{fórmula}}}

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De la definición de coseno, se tiene cos(γ) = (b+u)/a y por tanto

{{{fórmula}}}

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Sustituimos en la expresión para c² y simplificamos c² = a²-b² -2b(a cos(γ)-b), concluyendo nuevamente

{{{fórmula}}}

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Esto concluye la demostración.