Resolución de triángulos cualesquiera (1ºBach)

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Teorema de los senos

Teorema de los senos

En un triángulo cualquiera se cumplen las siguientes igualdades:

$\cfrac{a}{sen \, \hat A}=\cfrac{b}{sen \, \hat B}=\cfrac{c}{sen \, \hat C}$

Demostración:

Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento $\overline{BO}$ hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro $\overline{BP}$ .

Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que $\overline{BP}$ es un diámetro, y además los ángulos $\hat A$ y $\hat P$ son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abarcan el mismo segmento $\overline{BC}$ . Por la definición de seno, se tiene

$sen \, \hat A=sen \, \hat P=\cfrac{\overline{BC}}{\overline{BP}} = \cfrac{a}{2R}$

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:

$\frac{a}{sen \, \hat A} = 2R$

Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.

Teorema del coseno

{{Teorema|titulo=Teorema del coseno|enunciado=

En un triángulo cualquiera se cumplen la siguiente relación:

$c^2=a^2+b^2-2bc \, cos \, \hat C$

Y analogamente:

$b^2=a^2+c^2-2ac \, cos \, \hat B$

$a^2=b^2+c^2-2bc \, cos \, \hat A$

|demo= Notemos que el Teorema de Cosenos es equivalente al Teorema de Pitágoras cuando el ángulo $γ$ es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando c es adyacente a dos ángulos agudos y cuando c es adyacente a un ángulo agudo y un obtuso.

Primer caso: c es adyacente a dos ángulos agudos.

Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece que $c^2 = h^2 + u^2\,$ de modo que $h^2 = a^2 - (b-u)^2\,$ . Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos $c^2 = u^2 + a^2 - b^2 + 2bu - u^2\,$ , es decir:

{{{fórmula}}}

{{{ref}}}

Por la definición de coseno, se tiene cos(γ) = (b-u)/a, por tanto

{{Ecuación| $u = b- a \,\cos \hat C\,$

Sustituimos el valor de u en la expresión para $c^2\,$ y simplificamos: $c 2 = a 2 - b 2 + 2 b$ (b-a cos(γ)), concluyendo

$c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \hat C$

y terminando con esto la prueba del primer caso.

Segundo caso: c es adyacente a un ángulo obtuso.

Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevavamente c² = h² + u² pero en este caso h² = a² - (b+u)². Combinando ambas ecuaciones obtenemos $c 2 = u 2 + a 2 - b 2 - 2 b u - u 2$ y de este modo: