Ecuaciones trigonométricas (1ºBach)
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Ecuaciones trigonométricas
Una ecuación trigonométrica es aquella en la que las incógnitas aparecen formando parte de los argumentos de funciones trigonométricas.
Como las incógnitas son ángulo, tenemos que averiguar qué valores del ángulo son solución. En consecuencia, si existe alguna solución, éstas van a ser infinitas (todos los ángulos coterminales con el que hallemos), pero normalmente nos bastará con dar la solución comprendida entre 0º y 360º. También puede darse la solución en radianes.
Las estrategias a seguir para resolver estas ecuaciones, son muy diversas: cambio de variable, uso de identidades trigonométricas fundamentales y de fórmulas trigonométricas, etc.
Veamos algunos ejemplos:
Ejemplos: Ecuaciones trigonométricas
![2 \, tg \, x - 3\, cot \, x - 1=0](/wikipedia/images/math/a/2/9/a29b3ba7f406aeec76cb58ba53514059.png)
Transformamos la ecuación de partida:
Hacemos un cambio de variable:
Soluciones:
![cos^2 \, x - 3\, sen^2 \, x =0](/wikipedia/images/math/8/e/4/8e4da5a4e62a076e5038f82c14893056.png)
Usando la identidad fundamental:
Sustituimos en nuestra ecuación de partida:
Soluciones:
![sen(2x+60^\circ)+sen(x+30^\circ)=0](/wikipedia/images/math/4/c/f/4cf06cd21feb463c4e1eaf8bcc5b1af3.png)
Transformamos la suma en producto:
Dividimos ambos miembros entre 2 e igualamos a cero cada factor:
Soluciones:
![x=\begin{cases} -30^\circ + 360^\circ \cdot k \\ \, \, 150^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}](/wikipedia/images/math/3/6/5/3656add797c8e92ff9095bfd5875a3a9.png)
![sen^2 \, x - cos^2 \, x = \cfrac{1}{2}](/wikipedia/images/math/d/0/2/d02710d89b8a419248aa2bde2608b9b2.png)
Multiplicamos los dos miembros por -1:
Soluciones:
![x= \begin{cases} \, 60^\circ + 360^\circ \cdot k \\ 120^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}](/wikipedia/images/math/9/e/1/9e13f185552b3f348378760338296eb5.png)