Vectores: Producto escalar (1ºBach)
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Tabla de contenidos |
Producto escalar de vectores
Se llama producto escalar de dos vectores y
, al número real que se obtiene multiplicando los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman:
![\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}| \, |\overrightarrow{v}| \, cos \, (\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}})](/wikipedia/images/math/d/7/7/d77e3902e159f079c58a22ec09d6b46e.png)
Propiedades del producto escalar
Propiedad fundamental del producto escalar
Propiedad fundamental
- Si cualquiera de los dos vectores,
o
, es
, entonces
.
- Dados dos vectores no nulos,
y
, se cumple que
![\overrightarrow{u} \bot \overrightarrow{v} \iff \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0](/wikipedia/images/math/8/8/a/88ae477f258fed22b34f2e9265be5100.png)
- La primera propiedad es inmediata.
- Para la segunda propiedad, si ambos vectores no son nulos, entonces, para que el producto escalar sea cero, debe ser cero el coseno del ángulo que forman, y esto ocurre sólo si el ángulo es de 90º.
Signo del producto escalar
Propiedades: signo del producto escalar
El signo del producto escalar queda determinado por el ángulo que forman los vectores:
si
es agudo.
si
es obtuso.
Esta propiedad es inmediata, ya que el coseno de un ángulo es positivo, si éste es agudo, y negativo, si es obtuso.
Operaciones con el producto escalar
Propiedades de las operaciones
- Propiedad conmutativa:
.
- Propiedad asociativa:
.
- Propiedad distributiva:
.
- Propiedad conmutativa:
Como , tenemos que
, y por tanto:
- Propiedad asociativa:
.
- Propiedad distributiva:
.
Proyección de vectores y producto escalar
Llamaremos proyección del vector ![]() siendo Observa que la proyección es un número positivo o negativo según lo sea |
El producto escalar con bases ortonormales
Expresión analítica del producto escalar en bases ortonormales
Proposición
Sea una base ortonormal, entonces
![\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{x}=1 \qquad \overrightarrow{y} \cdot \overrightarrow{y}=1 \qquad \overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{y}=0](/wikipedia/images/math/6/6/c/66c566f727069e9157a6fd78408d3a74.png)
En efecto, al ser los vectores de la base unitarios y perpendiculares, tenemos:
Proposición
Si las coordenadas de los vectores y
, respecto de una base otonormal
son
y
, entonces:
![\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=x_1 \, x_2 + y_1 \, y_2](/wikipedia/images/math/1/4/f/14f728452e974cb2a819cdc9a9337889.png)
En efecto, al ser los vectores de la base unitarios y perpendiculares, tenemos:
Módulo de un vector en una base ortonormal
Módulo de un vector
- El módulo de un vector
, respecto de una base otonormal, es
<center>
Si respecto de una base otonormal, entonces:
![\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}=v_1 \, v_1 + v_2 \, v_2=v_1^2+v_2^2](/wikipedia/images/math/4/6/2/462bbc5a49294d00dce6b7deacdd2b37.png)
Por otro lado:
![\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{v}| \, |\overrightarrow{v}| \, cos \, (\widehat{\overrightarrow{v}, \, \overrightarrow{v}})=|\overrightarrow{v}|^2 \, cos \, 0=|\overrightarrow{v}|^2 \cdot 1=|\overrightarrow{v}|^2](/wikipedia/images/math/0/4/b/04b041c1147f563ae6a138c447241a88.png)
Ángulo de dos vectores en una base ortonormal
Ángulo entre dos vectores
Dados dos vectores, y
, respecto de una base otonormal, se cumple que
![cos \, (\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}})=\cfrac{u_1 \, v_1 + u_2 \, v_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2} \, \sqrt{v_1^2+v_2^2}}](/wikipedia/images/math/a/5/5/a55f2db6fed5a9411f4d61ef6966cf7e.png)
Si y
, respecto de una base otonormal, entonces:
![\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=u_1 \, v_1 + u_2 \, v_2 \qquad |\overrightarrow{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2} \qquad |\overrightarrow{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}](/wikipedia/images/math/7/8/a/78a9bb7ccb02d1158bb630951d1f4090.png)
Por otro lado:
![\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}| \, |\overrightarrow{v}| \, cos \, (\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}}) \quad \rightarrow \quad cos \, (\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}})=\cfrac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| \, |\overrightarrow{v}|}](/wikipedia/images/math/6/4/c/64c45e9559098eacb50eaef070672757.png)
- Dados los vectores
y
, respecto de una base otonormal, vamos a calcular el ángulo que forman:
![cos \, (\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}})=\cfrac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| \, |\overrightarrow{v}|}=\cfrac{4}{\sqrt{5} \, \sqrt{13}}=0.4961 \quad \rightarrow \quad \widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}}=60^\circ 15' 20''](/wikipedia/images/math/5/e/1/5e185cf13dbf8d4fe76f67c2b878b19c.png)
Vector ortogonal a otro
Proposición
- Los vectores de coordenadas
y
, respecto de una base ortonormal, son ortogonales.
Por la propiedad fundamental, sabemos que:
![\overrightarrow{u} \bot \overrightarrow{v} \iff \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0](/wikipedia/images/math/8/8/a/88ae477f258fed22b34f2e9265be5100.png)
Por otro lado, como las base es ortonormal, la expresión analítica del producto escalar es
![\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=a \cdot (-b) + b \cdot a=0](/wikipedia/images/math/c/0/7/c073d4f9e699324b85d03bca625f48cd.png)
- Calcula el valor de
para que el vector
sea ortogonal a
(respecto de una base otonormal):
- Para que sean ortogonales, su producto escalar debe ser cero:
![(x,1) \cdot (-2,5)=0 \quad \rightarrow \quad -2x+5=0 \quad \rightarrow \quad x=\cfrac{5}{2}](/wikipedia/images/math/9/e/8/9e8747e09bd823b22ab09d7582a438ba.png)