Puntos y vectores el plano (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Sistema de referencia en el plano
2 Coordenadas del vector que une dos puntos
3 Condición para que tres puntos estén alineados
4 Punto medio de un segmento
5 Simétrico de un punto respecto de otro

Sistema de referencia en el plano

Un sistema de referencia del plano consiste en una terna $\mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}$ , donde $O\,$ es un punto fijo, llamado origen, y $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ una base de vectores del plano.

En este sistema de referencia, cada punto $P\,$ del plano tiene asociado un vector fijo $\overrightarrow{OP}$ , llamado vector de posición del punto $P\,$ .

Si el vector $\overrightarrow{OP}$ tiene coordenadas $(a,b)\,$ respecto de la base $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ , el punto $P\,$ diremos que tiene coordenadas $(a,b)\,$ respecto del sistema de referencia $\mathfrak{R}$ .

Normalmente trabajaremos con un sistema de referencia en el que la base es ortonormal.

Actividad interactiva: Sistema de referencia en el plano

Vector de posición de un punto del plano respecto de un sistema de referencia ortonormal.

Actividad:

En la siguient escena tenemos un punto $P\,$ que da lugar al vector $\overrightarrow{OP}$ , que tiene de coordenadas $(4,3)\,$ respecto de la base ortonormal $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ .

Así, el punto $P\,$ tendrá coordenadas $(4,3)\,$ respecto del sistema de referencia $\mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}$ .

Click aquí si no se ve bien la escena

Ejercicio:

Cambia los valores de a y b y puedes ver cómo a otro punto $P\,$ , corresponde otro vector $\overrightarrow{OP}$ .
Observa cómo las coordenadas de $\overrightarrow{OP}(a,b)$ , siempre serán las coordenadas del punto $P(a,b)\,$ .

Coordenadas del vector que une dos puntos

Coordenadas del vector que une dos puntos

Dados dos puntos del plano de coordenadas $A(x_1,y_1)\,$ y $B(x_2,y_2)\,$ , respecto de un sistema de referencia $\mathfrak{R}$ , entonces:

$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$

Demostración:

Partimos de que

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB} \quad \rightarrow \quad \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$

Por tanto,

$\overrightarrow{AB}=(x_2,y_2)-(x_1,y_1)=(x_2-y_2,x_1-y_1)$

Actividad interactiva: Coordenadas del vector que une dos puntos

Coordenadas del vector que une dos puntos del plano respecto de un sistema de referencia ortonormal.

Actividad:

En la siguient escena tenemos dos puntos $A(4,8)\,$ y $B(7,2)\,$ .

Las coordenadas del vector $\overrightarrow{AB}=(7,2)-(4,8)=(7-4,2-8)=(3,-6)$ .

Click aquí si no se ve bien la escena

Ejercicio:

¿Cuáles son las coordenadas del vector $\overrightarrow{BA}$ ? Anótalo en tu cuaderno.(Ayuda: Coloca el punto A donde está el B y viceversa).
Ahora le vas a dar a las coordenadas de los puntos A y B los distintos valores que se muestran a continuación. Anótalos, calcula las coordenadas del vector $\overrightarrow{AB}$ en cada caso y después compruébalo en la escena:

a) A=(4,8); B=(6,4)

b) A=(5,6); B=(7,2)

c) A=(8,0); B=(5,6)

Condición para que tres puntos estén alineados

Condición para que tres puntos estén alineados

Los puntos del plano $A(x_1,y_1)\,$ , $B(x_2,y_2)\,$ y $C(x_3,y_3)\,$ , están alineados si se cumple:

$\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2}$

Demostración:

Los puntos del plano $A(x_1,y_1)\,$ , $B(x_2,y_2)\,$ y $C(x_3,y_3)\,$ , están alineados si los vectores $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$ y $\overrightarrow{BC}=(x_3-x_2,y_3-y_2)$ tienen la misma dirección.

Ahora, esto ocurre si los vectores son proporcionales: $\overrightarrow{AB}=\lambda \, \overrightarrow{BC}$

$(x_2-x_1,y_2-y_1)=\lambda \, (x_3-x_2,y_3-y_2) \rightarrow \begin{cases} x_2-x_1=\lambda \, (x_3-x_2) \rightarrow \lambda=\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2} \\ y_2-y_1=\lambda \, (y_3-y_2) \rightarrow \lambda=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2} \end{cases}$

Igualando ambas expresiones de $\lambda \,$ , se obtiene lo que buscamos.

Punto medio de un segmento

Punto medio de un segmento

Las coordenadas del punto medio, $M\,$ , de un segmento de extremos $A(x_1,y_1)\,$ y $B(x_2,y_2)\,$ son:

$M=\Big( \cfrac{x_1+x_2}{2}, \cfrac{y_1+y_2}{2} \Big)$

Demostración:

Sea $M=(x_3,y_3)\,$ el punto medio del segmento $\overline{AB}$ . Tenemos que:

$\overrightarrow{AM}=\cfrac{1}{2} \, \overrightarrow{AB} \rightarrow (x_3-x_1, y_3-y_1)=\cfrac{1}{2} \, (x_2-x_1, y_2-y_1) \rightarrow$

$\rightarrow \begin{cases} x_3-x_1=\cfrac{1}{2} \, (x_2-x_1) \rightarrow 2(x_3-x_1)=x_2-x_1 \rightarrow x_3=\cfrac{x_1+x_2}{2} \\ y_3-y_1=\cfrac{1}{2} \, (y_2-y_1) \rightarrow 2(y_3-y_1)=y_2-y_1 \rightarrow y_3=\cfrac{y_1+y_2}{2} \end{cases}$

Con lo que obtenemos lo que buscabamos.

Simétrico de un punto respecto de otro

Simétrico de un punto respecto de otro

El punto simétrico de $A(x,y)\,$ respecto del punto $P(a,b)\,$ es:

$A'=(2a-x,2b-y)\,$ .

Demostración:

El punto $P(a,b)\,$ es el punto medio del segmento $\overline{AA'}$ . Aplicando la fórmula del punto medio:

$P=(a,b)=\Big( \cfrac{x+x'}{2}, \cfrac{y+y'}{2} \Big) \rightarrow \begin{cases} a=\cfrac{x+x'}{2} \rightarrow x'=2a-x \\ b=\cfrac{y+y'}{2} \rightarrow y'=2a-y \end{cases}$