Plantilla:Raiz de 2 no es racional
De Wikipedia
Proposición
- El número
es irracional.
Vamos ha utilizar un tipo de demostración denominado "por reducción al absurdo". Vamos a suponer que es racional y llegaremosa una conclusión sin sentido. Esto demostraría que
no puede ser racional sino irracional.
Por tanto, supongamos que es racional, o sea, que existe una fracción de números enteros
que es igual a
. Dicha fracción la podemos suponer irreducible, ya que siempre es posible simplificarla.
![\cfrac {a}{b}=\sqrt{2}](/wikipedia/images/math/9/2/d/92dd0c4a81df0c277a9d4346add2cd10.png)
Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad:
![\cfrac {a^2}{b^2}=2](/wikipedia/images/math/e/f/8/ef81ceddb5dbd685958dfca029b2572f.png)
Multiplicamos por los dos miembros de la igualdad:
![a^2=2 \cdot b^2](/wikipedia/images/math/1/6/7/167f81c65b6072abcc99f81167eb67b3.png)
Esta expresión nos dice que es par, ya que resulta de multiplicar 2 por otro número.
Pero es un cuadrado perfecto, o sea es un número entero al cuadrado, luego si uno de sus factores es el 2, el 2 tiene que estar como mínimo al cuadrado, o sea dos veces.
Por tanto como ya hay un 2 en la igualdad delante de , el otro 2 tiene que estar en el
Eso quiere decir que también tiene que ser par, y por tanto
también es par.
Pero si es par y
también, la fracción no es irreducible, como habíamos supuesto.