Límite de una sucesión (1ºBach)

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Para acercarnos a la idea de límite, vamos a empezar viendo algunas representaciones gráficas de sucesiones

Tabla de contenidos

1 Representación gráfica de una sucesión
- 1.1 Ejercicios
2 Aproximación a la idea de límite de una sucesión
3 Sucesiones que no tienen límite
4 Ejercicios
5 Videotutoriales sobre límite de sucesiones

Representación gráfica de una sucesión

(pág. 57)

Para representar gráficamente una sucesión $a_n\;$ , construiremos una tabla donde anotaremos el valor de $a_n\;$ para distintos valores de n.

Las parejas $(n,a_n),\ n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$ obtenidas en la tabla, son las coordenadas de los puntos de la representación gráfica de la sucesión, que dibujaremos en unos ejes de coordenadas cartesianos.

Ejemplos: Representación gráfica de una sucesión

Representa graficamente las siguientes sucesiones:

a) $a_{n} = \cfrac{5n}{n+3}$

b) $a_{n} = n^2-2n\;$

Solución:

a) $a_{n} = \cfrac{5n}{n+3}$

Construimos la tabla de valores:

n	1	2	3	4	5	100	1000
a_n	1.25	2	2.5	2.85	3.1	4.85	4.98

Se observa que los términos de la sucesión se acercan cada vez mas a 5. Concluiremos diciendo que el límite de esta sucesión es 0, y lo escribiremos simbólicamente de la siguiente manera:

$lim \ a_n = lim \ \cfrac{5n}{n+3} = 5$

b) $a_{n} = \cfrac{n^2}{5}-4n \;$

Construimos la tabla de valores:

n	1	2	3	4	5	100	1000
a_n	-3.8	-7.20	-10.2	-12.8	-15	1600	196000

Se observa que los términos crecen y se hacen indefinidamente grandes. Concluiremos diciendo que el límite de esta sucesión es $+ \infty\;$ , y lo escribiremos simbólicamente de la siguiente manera:

$lim \ a_n = lim \ \cfrac{n^2}{5}-4n = + \infty$

Observa que, en ambos ejemplos, los valores obtenidos cuando n es pequeño, no son representativos del valor del límite. Por tanto, el valor del límite debe deducirse tomando valores de n suficientemente grandes.

Ejercicios

(pág. 57)

Actividad: Representación gráfica y límite de una sucesión

1. Dada la sucesión $a_n=-n^2 \;$

a) Elabora una tabla de valores para n=1,2,...,10.

b) Representa gráficamente los puntos de esa tabla.

c) Calcula $lim \ -n^2$

2. Dada la sucesión $a_n={1 \over n} \;$

a) Elabora una tabla de valores para n=1,2,...,10.

b) Representa gráficamente los puntos de esa tabla.

c) Calcula $lim \ {1 \over n}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) Table[-n^2,{n,1.,10.}] o Table[-n^2,{n,1.,1000.,100}]

b) Plot Table[-n^2,{n,1.,1000.,100}]

c) limit -n^2 as n->+oo

a) Table[1/n,{n,1.,10.}]

b) Plot Table[1/n,{n,1,10}]

c) limit 1/n as n->+oo

Ejercicios propuestos: Límite de una sucesión

1. Representa gráficamente la sucesión $a_n=\cfrac{4n+10}{2n-1}$ y asígnale un valor a su límite.

2. Representa gráficamente la sucesión $a_n=\cfrac{n^2}{4}-2n+3$ y asígnale un valor a su límite.

Solución:

Utiliza Wolfram para comprobar las soluciones.

Aproximación a la idea de límite de una sucesión

Cuando los términos de una sucesión $a_n\;$ se aproximan a un número $l \in \mathbb{R}$ , decimos que dicha sucesión tiende a $l\;$ o que su límite es $l\;$ . Lo escribiremos simbólicamente:

$a_n \rightarrow l$ o bien $lim \ a_n = l\;$

Cuando los términos de una sucesión $a_n\;$ crecen indefinidamente, superando a cualquier número, decimos que dicha sucesión tiende a $+\infty \;$ o que su límite es $+\infty \;$ . Lo escribiremos simbólicamente:

$a_n \rightarrow +\infty$ o bien $lim \ a_n = +\infty \;$

Cuando los términos de una sucesión $a_n\;$ decrecen indefinidamente, tomando valores infriores a cuialquier número negativo, decimos que dicha sucesión tiende a $-\infty \;$ o que su límite es $-\infty \;$ . Lo escribiremos simbólicamente:

$a_n \rightarrow -\infty$ o bien $lim \ a_n = -\infty \;$

Cuando el límite es un número finito la sucesión se dice que es convergente y si es infinito, divergente.

Sucesiones que no tienen límite

Hay sucesiones que no cumplen ninguna de las tres condiciones expuestas en el apartado anterior. Dichas sucesiones diremos que no tienen límite.

Ejemplo: Sucesión sin límite

La siguiente sucesión no tiene límite

$a_n=(-1)^{n+1} \cdot n$

Solución:

En efecto, los términos de esta sucesión son:

$-1,\ 2,\ -3,\ 4,\ -5,\ 6,\ -7,\ 8,\ \cdots$

No es divergente ni convergente, es decir, no tiene límite. Esto es debido a que sus términos se aproximan a dos valores distintos: los términos impares tienden a $+\infty \;$ y los pares a $-\infty \;$ . (Ver imagen de la derecha)

Se trata de una sucesión oscilante porque sus términos alternan de mayor a menor o viceversa.

Hay sucesiones oscilantes que sí son convergentes (tienen límite finito). Por ejemplo:

$a_n=(-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{n}$

que puede comprobarse que:

$lim \ (-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{n} = 0$

Ejercicios

Ejercicio: Límite de una sucesión

1. Representa gráficamente las siguientes sucesiones e indica si tienen o no límite, calculándolo en su caso:

a) $a_n=n^2\;$

b) $a_n=\cfrac{7n}{n+1}$

c) $a_n=\cfrac{n^2-6n-1}{5n+1}$

d) $a_n=(-1)^n \cdot (2n+1)$

e) $a_n=\cfrac{n^2-2}{2n^2+1}$

f) $a_n=\cfrac{n^3-15n^2+25}{2n^2-1}$

g) $a_n=\cfrac{90n+90}{n^2}$

h) $a_n=\sqrt{4n+5}$

i) $a_n= \begin{cases} 2, & \mbox{si }n\mbox{ es par} \\ 4, & \mbox{si }n\mbox{ es impar} \end{cases}$

j) $a_n=\cfrac{(-1)^n \cdot (n+5)}{n^2}$

Solución:

Límites:

a) $lim \ a_n=lim \ n^2 = +\infty \;$

b) $lim \ a_n=lim \ \cfrac{7n}{n+1} = 7$

c) $lim \ a_n=lim \ \cfrac{n^2-6n-1}{5n+1} = +\infty$

d) $lim \ a_n=lim \ (-1)^n \cdot (2n+1) =$ (No tiene límite) Es oscilante

e) $lim \ a_n=lim \ \cfrac{n^2-2}{2n^2+1} = \cfrac{1}{2}$

f) $lim \ a_n=lim \ \cfrac{n^3-15n^2+25}{2n^2-1} = +\infty$

g) $lim \ a_n=lim \ \cfrac{90n+90}{n^2} = 0$

h) $lim \ a_n=lim \ \sqrt{4n+5} = +\infty$

i) $a_n= \begin{cases} 2, & \mbox{si }n\mbox{ es par} \\ 4, & \mbox{si }n\mbox{ es impar} \end{cases}$ (No tiene límite) Es oscilante.

j) $lim \ a_n=lim \ \cfrac{(-1)^n \cdot (n+5)}{n^2} = 0$

Representación gráfica:

En la siguiente escena tienes la representación gráfica de las sucesiones. Pulsa los cursores "sucesión" para cambiar de sucesión. Haz uso del zoom y del cambio de escala O.x y O.y para visualizar mejor los resultados. Mueve el punto amarillo para ver la sucesión término a término.

Click aquí si no se ve bien la escena

Videotutoriales sobre límite de sucesiones

Recordatorio sobre sucesiones de números reales (17´44") Sinopsis:

Videotutorial

Visualización de una sucesión de números reales (11´36") Sinopsis:

Videotutorial

Límite de una sucesión de números reales (11´15") Sinopsis:

Definición rigurosa de límite de una sucesión de números reales.
Ejemplos
Visualización del concepto de límite

Ejercicio (10´35") Sinopsis:

Videotutorial

Límites infinitos (21´27") Sinopsis:

Videotutorial

Propiedades aritméticas de los límites (14´20") Sinopsis:

Videotutorial

Indeterminaciones matemáticas (8´10") Sinopsis:

Videotutorial

Infinitos potenciales (6´54") Sinopsis:

Videotutorial

Cociente de infinitos potenciales (9´09") Sinopsis:

Videotutorial

Otros infinitos (13´01") Sinopsis:

Videotutorial

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Categorías: Matemáticas | Números

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